Mehrfach transitive Gruppen

Zusammenfassung

Wir erweitern in diesem Kapitel den Transitivitätsbegriff für Operationen. Bereits die 2-transitiven Permutationsgruppen liefern eine bedeutende Teilmenge aller primitiven Gruppen. Als Anwendung des letzten Kapitels zeigen wir, dass jede scharf 2-transitive Permutationsgruppe in einer affinen Gruppe enthalten ist. Dies sind gleichzeitig Beispiele für Frobeniusgruppen. Die auflösbaren 3-transitiven Permutationsgruppen werden wir vollständig klassifizieren. Wir beweisen anschließend Jordans Satz über die Existenz scharf k-transitiver Permutationsgruppen mit k ≥ 4. Als interessante Ausnahmen ergeben sich dabei die Mathieugruppen M ₁₁ und M ₁₂, die zu den sporadisch einfachen Gruppen gehören. Die vollständige Klassifikation der 4-transitiven Permutationsgruppen können wir nur ohne Beweis angeben. Die entwickelten Methoden werden außerdem benutzt, um die Einfachheit der alternierenden Gruppen zu verifizieren.