Gruppen ungerader Ordnung

Zusammenfassung

Wir wollen in diesem Kapitel in Burnsides Fußstapfen treten, der Anfang des 20. Jahrhunderts mittels Permutationsgruppen und Charaktertheorie gezeigt hat, dass viele Gruppen ungerader Ordnung auflösbar sind. Wie bereits erwähnt, wurde dies 1963 von Feit und Thompson in voller Allgemeinheit bewiesen (allerdings mit deutlich schwierigeren Methoden). Wie erläutern zunächst unsere Strategie. Sei G ein minimales Gegenbeispiel und $|G|=n$. Dann ist G nichtabelsch und einfach. Anhand der Primfaktorzerlegung von n können wir die möglichen Ordnungen der Normalisatoren der Sylowgruppen bestimmen. Anschließend verwenden wir sogenannte Verlagerungssätze von Burnside, Frobenius und Thompson, um Untergruppen H < G mit kleinem Index zu konstruieren (zum Beispiel Hallgruppen). Wir können annehmen, dass G primitiv auf G ∕ H operiert. Die Theorie der Subgrade liefert dann den gewünschten Widerspruch. Wir werden dieses Verfahren soweit automatisieren, dass wir die möglichen Ordnungen n mit dem Computer durchlaufen können. Auf diese Weise zeigen wir, dass alle Gruppen mit ungerader Ordnung kleiner als eine Million auflösbar sind. Am Ende des Kapitels geben wir ohne Beweis weitere bekannte Sätze an, mit deren Hilfe man die Analyse weiter treiben könnte.