Operationen auf Gruppen

Zusammenfassung

In diesem Kapitel nehmen wir an, dass die Gruppe G auf einer weiteren Gruppe Ω operiert, sodass die Verknüpfung auf Ω respektiert wird. Eine solche Operation entspricht der Konjugation im semidirekten Produkt $\Omega\rtimes G$ und viele Rechnungen lassen sich übersichtlich durch Kommutatoren ausdrücken, die wir im ersten Abschnitt definieren. Im zweiten Abschnitt beweisen wir den wichtigen Satz von Schur und Zassenhaus, der umgekehrt abstrakte Gruppen als semidirekte Produkte ausweist. Dies führt uns zum Studium koprimer Operationen, bei denen $|G|$ und $|\Omega|$ teilerfremd sind. Anschließend definieren wir die Frattinigruppe, um Operationen auf p-Gruppen zu analysieren. Unter Verwendung dieser Ergebnisse beweisen wir einen Reduktionssatz für koprime Operationen von Hartley und Turull, der Ω durch eine elementarabelsche Gruppe ersetzt. Bekanntlich ist Ω dann ein Vektorraum über einem endlichen Körper und es liegt nahe, einige klassische Ergebnisse aus der Darstellungstheorie zu verifizieren. Erwähnenswert sind hierbei Maschkes Satz über halbeinfache Operationen, Schurs Lemma und Cliffords Satz über Operationen von Normalteilern. Im vierten Abschnitt interessieren wir uns für die Existenz großer Bahnen, um $|G|$ durch eine Funktion in $|\Omega|$ nach oben abschätzen zu können. In vielen Fällen zeigen wir, dass G regulär auf einer Bahn in Ω operiert. Sicher gilt dann $|G|\leq|\Omega|$. Ein Ergebnis von Halasi und Podoski zeigt im Allgemeinen $|G|\leq|\Omega|^{2}$ für koprime Permutationsgruppen. Im darauffolgenden Abschnitt untersuchen wir die möglichen koprimen Operationen auf einer vorgegebenen p-Gruppe P. Oft kann man die koprimen Operationen auf P anhand einer echten Untergruppe von P bereits ablesen. Beispielsweise beweisen wir, dass für p > 2 jede treue, koprime Operation auf P auch treu auf $\Omega(P)=\langle x\in P:x^{p}=1\rangle$ operieren muss. Ein Satz von Thompson zeigt, dass man im Allgemeinen $\Omega(P)$ durch eine kritische Untergruppe von P ersetzen kann.