Klein: Ikosaeder und quintische Gleichung (1884)

Zusammenfassung

Wir hatten in Kapitel 9 gesehen, dass die allgemeine Gleichung 5. Grades keine Lösungsformel besitzt, die nur die Grundrechenarten und das Wurzelziehen beliebigen Grades benutzt. Und doch gibt es eine Lösungsformel; sie verwendet eben noch eine weitere Rechenart. Felix Klein hat 1884 den geometrischen Grund für diese merkwürdige Formel beschrieben, die nur für quintische Gleichungen gilt: Er hat eine enge Verbindung dieser Gleichung zur Geometrie des Ikosaeders aufgedeckt. Ein Indiz dafür ist, dass die Drehgruppe des Ikosaeders isomorph ist zur Galoisgruppe der quintischen Gleichung, ähnlich wie die Drehgruppe des Würfels isomorph zur Galoisgruppe der quartischen Gleichung ist (Übung 9.1).