Bewegungs-Invarianz des Lebesgueschen Maßes

Zusammenfassung

Das Lebesguesche Maß im ℝⁿ wurde ausgehend vom elementar-geometrischen Volumen achsen- paralleler Quader konstruiert. Diese Definition hängt scheinbar vom gewählten Koordinaten- System ab. Wir werden aber in diesem Paragraphen zeigen, dass das Lebesguesche Maß nur von der Euklidischen Metrik abhängt, d.h. invariant gegenüber längentreuen Abbildungen ist. Allgemeiner untersuchen wir das Verhalten unter beliebigen linearen Transformationen. Es zeigt sich, dass dabei das Maß mit einem Faktor multipliziert wird, der gleich dem Absolutbetrag der Determinante der linearen Transformation ist. Daraus leiten wir noch das Transformations- Verhalten des Lebesgueschen Integrals bei linearen Abbildungen ab.