Inhalte, Prämaße, Maße

Zusammenfassung

Ein Inhalt ist eine nicht-negative numerische Funktion auf einem Mengenring mit der Eigenschaft, dass der Inhalt einer Vereinigung zweier punktfremder Mengen gleich der Summe der Inhalte der einzelnen Mengen ist. Wichtig für die Integrations-Theorie ist eine Verschärfung dieser Eigenschaft, die σ-Additivität. Ein Inhalt heißt σ-additiv, wenn der Inhalt einer abzählbaren Vereinigung punktfremder Mengen gleich der Summe der Inhalte der einzelnen Mengen ist. Der elementar-geometrische Inhalt auf dem Mengenring der Quadersummen im ℝⁿ hat diese Eigenschaft. Sie ist wesentlich dafür, dass man diesen Inhalt zu einem Maß auf der Borel-Algebra des ℝⁿ fortsetzen kann, was im nächsten Paragraphen durchgeführt wird. Ein Maß ist dabei ein σ-additiver Inhalt, der auf einer σ-Algebra definiert ist.