Grundbegriffe algebraischer Strukturen

Zusammenfassung

Große Teile der Mathematik und der theoretischen Informatik untersuchen mathematische Strukturen und wenden solche zur Lösung von Problemen an. Sehr allgemein betrachtet besteht eine mathematische Struktur aus einer Liste von nichtleeren Mengen, genannt Trägermengen, von Elementen aus den Trägermengen, genannt Konstanten, und von mengentheoretischen Konstruktionen über den Trägermengen. Bisher kennen wir etwa geordnete Mengen, gerichtete Graphen und ungerichtete Graphen als mathematische Strukturen. In den ersten beiden Fällen gibt es genau eine Trägermenge, keine Konstanten und genau eine mengentheoretische Konstruktion, welche jeweils eine Relation über der Trägermenge ist. Beim dritten Fall gibt es ebenfalls genau eine Trägermenge und keine Konstanten. Die einzige mengentheoretische Konstruktion ist nun jedoch eine spezielle Teilmenge der Potenzmenge der Trägermenge. In diesem Kapitel behandeln wir fast nur algebraische Strukturen. Dies heißt konkret, dass die mengentheoretischen Konstruktionen Funktionen über den Trägermengen sind. Wir beschränken uns weiterhin größtenteils auf den Fall einer einzigen Trägermenge. Solche Strukturen werden auch homogen genannt. Alle speziell behandelten homogenen algebraischen Strukturen stammen aus der klassischen Algebra. Auf allgemeinere mathematische Strukturen gehen wir im letzten Abschnitt des Kapitels noch kurz ein. Wir hoffen, dass die Leserin oder der Leser durch den gewählten allgemeinen Ansatz dieses Kapitels gut auf die Verwendung allgemeiner mathematischer Strukturen vorbereitet wird.