Zusammenfassung
In der Versicherungsmathematik werden Berechnungen zumeist auf zwei Ebenen durchgeführt: Entweder auf Ebene des einzelnen Versicherungsvertrages (z. B. für eine Prämie oder Rückstellung) oder auf Ebene eines ganzen Kollektivs von versicherten Risiken (z. B. für die Bestimmung von Überschüssen oder Risikokapital). Auf jeder Ebene spielen bestimmte Parameter eine entscheidende Rolle, wobei die Kollektivparameter auch Verwendung auf der Vertragsebene finden. Werden etwa für einen konkreten Versicherungsschutz Prämie und Rückstellung kalkuliert, so fließen neben vertragseigenen Größen (wie z. B. dem Alter des Versicherungsnehmers, dem gewählten Selbstbehalt usw.) auch allgemeinere Werte ein wie Zins oder Kostenzuschläge. Man nennt diese kollektiven Parameter die Rechnungsgrundlagen. In § 2 Abs. 1 und 2 KVAV werden die für die PKV relevanten benannt:
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- 1.
Siehe auch Abschn. 2.2. Bei Zufallsvariablen mit extrem schiefen Verteilungen kann der Erwartungswert sehr weit vom Median entfernt liegen, so dass hauptsächlich Abweichungen zu einer Seite hin auftreten werden. Solche Verteilungen werden aber hier keine Rolle spielen.
- 2.
Diese und die meisten der folgenden Themen in diesem Buch sind Inhalt der technischen Berechnungsgrundlagen, welche die Versicherungsunternehmen für all ihre Tarife anlegen müssen. Sie bilden das vollständige unternehmensindividuelle Formelwerk ab. Ein Vorschlag für einen generellen Aufbau dieser technischen Berechnungsgrundlagen wurde in einem Fachgrundsatz der DAV zusammengestellt, siehe 7.
- 3.
Siehe dazu auch die anfängliche Bemerkung zur Beitragsanpassung: Ein Lebensversicherer hat keine Möglichkeit, einen zu hoch angesetzten Zins im Nachhinein zu reduzieren (und gibt somit eine langfristige Zinsgarantie), ein PKV-Unternehmen dagegen schon. Daher wurde lange Zeit keine Notwendigkeit gesehen, dem sinkenden Zinsniveau bei der Tarifierung eine entsprechende Aufmerksamkeit zu schenken.
- 4.
AUZ = Aktuarieller Unternehmenszins.
- 5.
Man vergleiche dies auch mit der Festlegung des Rechnungszinses für die Lebensversicherung in der Deckungsrückstellungsverordnung.
- 6.
Trotzdem werden in den Grafiken altersabhängige Größen, sofern möglich bzw. sinnvoll, ab Alter 0 dargestellt.
- 7.
In dem zitierten Paragrafen der KVAV ist das Geschlecht aufgrund der Unisex-Tarifierung nicht mehr als Unterscheidungsmerkmal genannt. Allerdings werden die Kopfschäden intern zunächst geschlechtsabhängig ermittelt und anschließend Unisex-Kopfschäden daraus abgeleitet. Näheres dazu in Kap. 10.
- 8.
Das Alterssymbol x steht in der Versicherungsmathematik immer für Männer, y für Frauen. Wir verwenden – bis auf wenige Ausnahmen – der Einfachheit halber in diesem Buch nur das x, meist ohne dabei auf das Geschlecht anzuspielen, denn alle Formeln sind unabhängig davon.
- 9.
Friedrich Rusam, geb. 1907, im Zweiten Weltkrieg vermisst, führte diese Methode in den 1930er Jahren ein.
- 10.
Siehe dazu auch Abb. 3.3.
- 11.
Für die Zufallsvariable 1 A siehe auch den Anhang.
- 12.
Tragen Sie im Suchfeld der BaFin-Webseite den Begriff Wahrscheinlichkeitstafeln pkv ein.
- 13.
Auch in den Zahlenberichten der PKV 12 findet man Kopfschadenstatistiken.
- 14.
Für eine Menge A bezeichne \(|A|\) die Anzahl der Elemente in A.
- 15.
Dass hier zuerst über t summiert und danach dividiert wird, liegt am Ziel der Berechnung: Man will den (rohen) Kopfschaden der Vergangenheit bestimmen, und fasst Beobachtungsdaten mehrerer Jahre zusammen zu einer größeren Datenbasis; es geht noch nicht um die Bestimmung eines durchschnittlichen Kopfschadens einzelner Beobachtungsjahre.
- 16.
Wir wählen hier ohne Einschränkung \(J_{x}^{\ast}(t)\) für die verwendete Personengruppe aus.
- 17.
Dies ist eine der wenigen Stellen im Buch, wo das Alter von Männern und Frauen mit unterschiedlichen Buchstaben (x und y) bezeichnet wird, denn nun stehen die konkreten Werte und deren Vergleich im Vordergrund.
- 18.
In Anlehnung an die Vorgabe des eben zitierten § 23 Abs. 1 KVAV.
- 19.
Vergleiche auch mit Aufgabe .
- 20.
Bei diesen Untersuchungen ist immer darauf zu achten, ob es Sondereffekte im Datenmaterial gibt, die sich auf die Ausgleichungen und Trends auswirken können, wie etwa Grippewellen oder Epidemien.
- 21.
Siehe Anhang. Man vergleiche mit dem klassischen Experiment Ziehen aus einer unendlich großen Urne. Es wird n x -mal gezogen, wobei die Trefferwahrscheinlichkeit q x ist. Dieses Modell wird durch die Binomialverteilung \(B(n_{x},q_{x})\) beschrieben.
- 22.
Mit Φ wird die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung bezeichnet; siehe Anhang.
- 23.
Diese sind Bestandteil der PKV-Wahrscheinlichkeitstafeln, die auch die Kopfschadenreihen enthalten.
- 24.
Es gilt \(\text{\rm P}[A\cup B]=\text{\rm P}[A]+\text{\rm P}[B]\) für disjunkte Ereignisse A,B.
Literatur
Aigner, M.: Diskrete Mathematik. Vieweg, Wiesbaden (2004)
Becker, T., Herrmann, R., Sandor, V., Schäfer, D., Wellisch, U.: Stochastische Risikomodellierung und statistische Methoden. Springer Spektrum (2016)
Bleckmann, N., Mnich, J.: Erstellung der Sterbetafel PKV 1995 für die Private Krankenversicherung. Blätter der DGVFM, Band XXII, Heft 3, S. 591–621
Behne, J.: Anmerkungen zu Tarifen mit absolutem Selbstbehalt in der Privaten Krankenversicherung. Blätter der DGVFM, Band XVII, Heft 3, S. 269–277
Brünjes, C.: Spezifische Rechnungsgrundlagen der Krankentagegeldversicherung. Blätter der DGVFM, Band XVII, Heft 2, S.179–195
DAV-Ausschuss Kranken: Der aktuarielle Unternehmenszins in der privaten Krankenversicherung (AUZ). Fachgrundsatz der DAV (2012)
DAV-Ausschuss Kranken: Erstellung und Inhalte Technischer Berechnungsgrundlagen in der privaten Krankenversicherung. Fachgrundsatz der DAV (2016)
DAV-Ausschuss Kranken: Aktuarielle Festlegung eines angemessenen Rechnungszinses für eine Beobachtungseinheit. Fachgrundsatz der DAV (2016)
Dinkel, R.H., Görtler, E.: Die Sterblichkeit nach Krankenkassenzugehörigkeit. Versicherungsmedizin 46 (1994), Heft 1, S. 17–20
Gartmann, A.: Aktualisierung der Sterbetafel für die deutsche private Krankenversicherung. Blätter der DGVFM, Band XXVI, Heft 3, S. 483–500
Milbrodt, H.: Aktuarielle Methoden der deutschen Privaten Krankenversicherung. Schriftenreihe Angewandte Versicherungsmathematik Heft 34. VVW, Karlsruhe (2005)
Verband der Privaten Krankenversicherung: Zahlenbericht der Privaten Krankenversicherung 2014 (2014)
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Becker, T. (2017). Rechnungsgrundlagen. In: Mathematik der privaten Krankenversicherung. Studienbücher Wirtschaftsmathematik. Springer Spektrum, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-658-16666-3_3
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