Schwingungen von Kontinua

Zusammenfassung

Der Übergang von einer Schwingerkette mit n Freiheitsgraden, n Eigenschwingungsformen und n Eigenkreisfrequenzen auf ein mechanisches Modell mit „kontinuierlicher“ Massen- und Steifigkeitsverteilung führt von gewöhnlichen Differentialgleichungen zu partiellen Differentialgleichungen. Zusätzlich zur Zeitabhängigkeit kommt die Abhängigkeit vom Ort hinzu. Fasst man die Bewegung eines kleinen Massepunktes als Freiheitsgrad auf, so besitzt ein kontinuierliches System unendlich viele Freiheitsgrade mit unendlich vielen Eigenschwingungsformen und Eigenkreisfrequenzen. Im Gegensatz zu den nicht einzeln zählbaren Freiheitsgraden des Kontinuums sind aber deren Eigenformen und -frequenzen abzählbar. Dies wird für einfachste eindimensionale Verschiebungsfelder einer querschwingenden vorgespannten Saite, eines längsschwingenden Stabes und eines querschwingenden Balkens aufgezeigt. Die Abhängigkeit der Eigenwerte (Eigenformen) und Eigenkreisfrequenzen von den Lagerungsbedingungen sowie von den typischen Parametern wie Massendichte, Elastizitätsmodul und Querschnittsdaten wie Fläche oder Flächenträgheitsmoment werden hergeleitet und tabellarisch aufgelistet. Diese können auch zur Lösung der abschließenden, einfachen Aufgaben benutzt werden. Die Lösung (ohne Lösungsschritte im Einzelnen) ist im Anhang angegeben.