Optionen

Mondello, Enzo

doi:10.1007/978-3-658-13199-9_15

Enzo Mondello²

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Zusammenfassung

Der Käufer einer Option erwirbt das Recht, den zugrundeliegenden Basiswert zum vereinbarten Ausübungspreis zu kaufen (Call) bzw. zu verkaufen (Put). Der Optionsverkäufer hingegen verpflichtet sich, den Basiswert zum vereinbarten Ausübungspreis zu verkaufen (Call) bzw. zu kaufen (Put). Kann das Recht zum Kauf oder Verkauf jederzeit ausgeübt werden, spricht man von einer amerikanischen Option. Ist die Ausübung der Option lediglich am Fälligkeitstag möglich, handelt es sich um eine europäische Option. Optionen werden sowohl über eine Terminbörse als auch außerbörslich gehandelt.

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Notes

1.
Vgl. Abschn. 12.5.2.
2.
Wird der Call ausgeübt, kann man eine Aktie zum Ausübungspreis von EUR 100 kaufen, die auf dem Markt zu einem Kurs von EUR 108 gehandelt wird. Das führt zu einem Gewinn von EUR 8, der dem inneren Wert der Option entspricht.
3.
Vgl. Hull 2006: Options, Futures, and Other Derivatives, S. 218.
4.
Überschreitet der Aktienkurs den Ausübungspreis am Fälligkeitstag der Call-Option, $\mathrm{S_{T}}> \mathrm{X}$, wird die Kaufoption ausgeübt und es resultiert ein Gewinn von $\mathrm{S_{T}}-\mathrm{X}$. Die Kassaposition des Portfolios A wird zum risikolosen Zinssatz angelegt, was einen Betrag von Div +X zum Zeitpunkt T ergibt. Somit setzt sich der Wert des Portfolios A aus $\mathrm{S_{T}}+$ Div [$=(\mathrm{S_{T}}-\mathrm{X})+({\text{Div}}+\mathrm{X})$] zusammen. Der Wert des Portfolios B beträgt am Fälligkeitstag der Call-Option S_T. Demnach ist der Wert des Portfolios A zum Fälligkeitszeitpunkt T mindestens gleich groß oder größer als der Wert des Portfolios B.
5.
Vgl. Hull 2006: Options, Futures, and Other Derivatives, S. 219.
6.
Vgl. Hull 2006: Options, Futures, and Other Derivatives, S. 212.
7.
Vgl. Chance 2003: Analysis of Derivatives for the CFA^® Program, S. 187 ff.
8.
Ein Pluszeichen in der Gleichung bedeutet eine Long-Position, während ein Minuszeichen eine Short-Position impliziert.
9.
An der Eurex werden mehrheitlich amerikanische Optionen auf Aktien gehandelt. Bei einigen wenigen Aktien findet man auch europäische Optionen, die mit einer Gruppenerkennung von DE14 für deutsche Aktien und CH14 für schweizerische Aktien gekennzeichnet sind. An der Eurex sind Optionen auf über 700 Aktien von mehr als 10 Ländern notiert.
10.
Beziehen sich die beiden amerikanischen Call- und Put-Optionen auf Aktien mit Dividenden, ergibt sich in Anlehnung an die Put-Call-Parität folgende Ungleichung:
$$\mathrm{S_{0}}-\frac{\text{Div }}{\left(1+\mathrm{r_{F}}\right)^{\mathrm{T}}}-\mathrm{X}\leq\mathrm{C_{0}}-\mathrm{P_{0}}\leq\mathrm{S_{0}}-\frac{\mathrm{X}}{\left(1+\mathrm{r_{F}}\right)^{\mathrm{T}}}.$$
11.

$$\mathrm{c_{0}}+\frac{\mathrm{X}}{\left(1+\mathrm{r_{F}}\right)^{\mathrm{T}}}=\mathrm{p_{0}}+\mathrm{S_{0}}\rightarrow\frac{\mathrm{X}}{\left(1+\mathrm{r_{F}}\right)^{\mathrm{T}}}-\mathrm{S_{0}}=\mathrm{p_{0}}-\mathrm{c_{0}}.$$
12.
Für das Black/Scholes-Modell vgl. Abschn. 15.6.
13.
Nimmt der Aktienpreis zu, dann muss die Aktienrendite höher als der risikolose Zinssatz sein. Fällt hingegen der Aktienpreis, ist die Aktienrendite kleiner als der risikolose Zinssatz. Liegt beispielsweise die Rendite der Aktie dauernd über dem risikolosen Zinssatz (also $\mathrm{u}> \mathrm{d}> 1+\mathrm{r_{F}}$), kann man für den Aktienkauf Geld zum risikolosen Zinssatz aufnehmen und so dauerhaft eine Überschussrendite erzielen. Unterschreitet hingegen die Aktienrendite den risikolosen Zinssatz (also $\mathrm{d}<\mathrm{u}<1+\mathrm{r_{F}}$), kann man die Aktie leerverkaufen und mit dem Verkaufserlös die risikolose Anlage kaufen, um eine Überschussrendite zu erwirtschaften. Mit der Formel wird sichergestellt, dass keine Arbitragemöglichkeit vorliegt.
14.
Wird mit einer Aktienposition und einer Call-Option eine deltaneutrale Position erstellt, so erzielt man im Ein-Perioden-Binomialmodell den risikolosen Zinssatz bzw. ergibt sich eine risikolose Anleiheposition. Also gilt folgender Zusammenhang: risikolose Long-Anleihe = Long-Aktie + Short-Call. Wenn diese Gleichung gilt, muss die Kombination aus Long-Aktie und Short-Call dieselbe Rendite aufweisen wie die risikolose Long-Anleihe, nämlich den risikolosen Zinssatz. Demnach wird der Optionspreis im Binomialmodell (wie auch im Black/Scholes-Modell) über ein Replikationsportfolio hergeleitet.
15.
Unterstellt man hingegen Risikoaversion, erfolgt die Wertfindung durch das Diskontieren von zukünftigen Werten mit der erwarteten Rendite, die aus dem risikolosen Zinssatz und einer Risikoprämie besteht. Die Risikoprämie stellt eine Renditeentschädigung für die mit der Anlage eingegangenen Risiken dar, die durch den risikolosen Zinssatz nicht gedeckt sind.
16.
Die erwartete Rendite der Aktie in einer risikoneutralen Welt ist durch den risikolosen Zinssatz r_F gegeben. Der erwartete Aktienpreis nach Ablauf einer Periode ($\Updelta\mathrm{t}$) ist $\mathrm{S}_{0}(1+\mathrm{r}_{\mathrm{F}})^{\Updelta\mathrm{t}}$ und entspricht der Summe der wahrscheinlichkeitsgewichteten Aktienpreise am Ende der Periode, die wie folgt gegeben ist: $\uppi_{\mathrm{u}}\mathrm{S_{0}}\mathrm{u}+\left(1-\uppi_{\mathrm{u}}\right)\mathrm{S_{0}}\mathrm{d}$. Wird die folgende Gleichung nach der risikoneutralen Wahrscheinlichkeit einer Aufwärtsbewegung (${\uppi}_{\mathrm{u}}$) aufgelöst, erhält man bei ${\Updelta}\mathrm{t}=1$ (15.34): $\mathrm{S_{0}}\left(1+\mathrm{r_{F}}\right)^{\Updelta\mathrm{t}}=\uppi_{\mathrm{u}}\mathrm{S_{0}}\mathrm{u}+\left(1-\uppi_{\mathrm{u}}\right)\mathrm{S_{0}}\mathrm{d}$.
17.
Alternativ lässt sich der Call-Preis bestimmen, indem die wahrscheinlichkeitsgewichteten Call-Preise am Fälligkeitstag auf den Bewertungszeitpunkt diskontiert werden: $\mathrm{c_{0}}=(\uppi^{2}_{\mathrm{u}}\mathrm{c_{uu}}+2\uppi_{\mathrm{u}}\uppi_{\mathrm{d}}\mathrm{c_{ud}}+\uppi^{2}_{\mathrm{d}}\mathrm{c_{dd}})/(1+\mathrm{r_{F}})^{2}=(0{,}52^{2}\times\text{EUR}\,62{,}50+2\times 0{,}52\times 0{,}48\times\text{EUR}\,0+0{,}48^{2}\times\text{EUR}\,0)/(1{,}02)^{2}=\text{EUR}\,16{,}24$.
18.
Für die Berechnung der annualisierten Standardabweichung der stetigen Aktienpreisrenditen vgl. Abschn. 2.3.1.
19.
Vgl. Cox et al. 1979: Option Pricing: A Simplified Approach, S. 249.
20.
Die erwartete Aktienrendite besteht aus der Kapital- und der Dividendenrendite. Wird von der Renditeerwartung – also dem risikolosen Zinssatz – die Dividendenrendite abgezogen, erhält man die Kapitalrendite. Der erwartete Aktienpreis nach Ablauf einer Periode $(\Updelta\mathrm{t})$ ist $\mathrm{S_{0}}\mathrm{e}^{(\mathrm{r_{F},s}-\mathrm{q})\Updelta\mathrm{t}}$ und entspricht der Summe der wahrscheinlichkeitsgewichteten Aktienpreise am Ende der Periode, die wie folgt gegeben ist: $\uppi_{\mathrm{u}}\mathrm{S_{0}}\mathrm{u}+(1-\uppi_{\mathrm{u}})\mathrm{S_{0}}\mathrm{d}$. Wird die folgende Gleichung $\mathrm{S_{0}}\mathrm{e}^{(\mathrm{r_{F},s}-\mathrm{q})\Updelta\mathrm{t}}=\uppi_{\mathrm{u}}\mathrm{S_{0}}\mathrm{u}+(1-\uppi_{\mathrm{u}})\mathrm{S_{0}}\mathrm{d}$ nach der risikoneutralen Wahrscheinlichkeit einer Aufwärtsbewegung (${\uppi}_{\mathrm{u}}$) aufgelöst, erhält man (15.39).
21.
Vgl. Hull 2006: Options, Futures, and Other Derivatives, S. 406.
22.
Im Unterschied zum Binomialmodell unterstellt das Black/Scholes-Modell, dass die Aktienpreise einem stetigen Zufallspfad folgen (zeitkontinuierlich und nicht zeitdiskret), was die Preisverläufe realitätsnäher abbildet.
23.
Fischer Black ist 1995 verstorben.
24.
Vgl. Black und Scholes 1972: The Valuation of Option Contracts and a Test of Market Efficiency, S. 399 ff., Black und Scholes 1973: The Pricing of Options and Corporate Liabilities, S. 640 und Merton 1973: Theory of Rational Option Pricing, S. 141 ff.
25.
Wird die Gleichung nach $\mathrm{r_{\text{F, s}}}\mathrm{OP}$ aufgelöst, erhält man die sogenannte Black/Scholes/Merton-Differentialgleichung:
$$\mathrm{r_{\text{F, s}}}\mathrm{OP}=\frac{\partial\mathrm{OP}}{\partial t}+\mathrm{r_{\text{F, s}}}\mathrm{S}\frac{\partial\mathrm{OP}}{\partial\mathrm{S}}+\frac{1}{2}\frac{\partial^{2}\mathrm{OP}}{\partial\mathrm{S}^{2}}\upsigma^{2}\mathrm{S}^{2}.$$
Die Gleichung zeigt, dass man mit einem deltaneutralen Portfolio (bestehend aus einer Short-Call-Option und einer deltagewichteten Long-Aktienposition) den risikolosen Zinssatz erzielt. Allerdings ist diese Position nur über eine infinitesimale kurze Zeitperiode risikolos. Die Preisbewegungen des Basiswerts werden mit der geometrischen Brown’schen Bewegung (bzw. dem Wiener Prozess) modelliert. Für die Herleitung des Black/Scholes-Modells vgl. Black und Scholes 1973: The Pricing of Options and Corporate Liabilities, S. 642 ff.
26.
Bei der Standardnormalverteilung handelt es sich um eine Normalverteilung, die einen Erwartungswert von 0 und eine Standardabweichung von 1 aufweist.
27.
Vgl. Abschn. 15.3.3.
28.
Da in der Standardnormalverteilungstabelle lediglich die Fläche rechts des Erwartungswerts angegeben wird, ist zum abgelesenen Wert 0,5 hinzuzuzählen.
29.
Die Dividende wird ab dem Ex-Dividendentag mit dem risikolosen Zinssatz diskontiert. Weist zum Beispiel die Option eine Laufzeit von 6 Monaten auf und der Ex-Dividendentag fällt 4 Monate nach Laufzeitbeginn an, wird die Dividende mit dem risikolosen Zinssatz über 4 Monate diskontiert.
30.
Da $\ln\left(\mathrm{S_{0}}\mathrm{e}^{-\mathrm{q}\mathrm{T}}/\mathrm{X}\right)=\ln\left(\mathrm{S_{0}}/\mathrm{X}\right)-\mathrm{q}\mathrm{T}$, kann die Standardnormalvariable d₁ auch wie folgt eruiert werden:
$$\mathrm{d_{1}}=\frac{\ln\left(\mathrm{S_{0}}/\mathrm{X}\right)+\left(\mathrm{r_{\text{F, s}}}-\mathrm{q}+\upsigma^{2}/2\right)\mathrm{T}}{\upsigma\sqrt{\mathrm{T}}}.$$
31.
Für die historische Volatilität vgl. Abschn. 2.3.1.
32.
Vgl. Kolb 2000: Futures, Options, & Swaps, S. 401.
33.
Vgl. Hull 2006: Options, Futures, and Other Derivatives, S. 300.
34.
Vgl. Brenner und Subrahmanyam 1988: A Simple Formula to Compute the Implied Volatility, S. 80 ff. und Chance 1993: Leap into the Unknown, S. 60 ff.
35.
Vgl. Corrado und Miller 1996: Volatility without Tears, S. 49 ff.
36.
Für die iterative Technik bisection vgl. z. B. Watsham 1998: Futures and Options in Risk Management, S. 164 ff.
37.
Für das Vega vgl. Abschn. 15.7.7.
38.
Vgl. Rudolph und Schäfer 2010: Derivative Finanzmarktinstrumente: Eine anwendungsbezogene Einführung in Märkte, Strategien und Bewertung, S. 289.
39.
Vgl. Hull 2006: Options, Futures, and Other Derivatives, S. 379 ff.
40.
Vgl. Figlewski 1990: Theoretical Valuation Models, S. 98.
41.
Vgl. Abschn. 15.7.7.
42.
Wenn z ausschließlich von x abhängt, ist die Notation typischerweise $\Updelta\mathrm{z}\approx\dfrac{\mathrm{d}\mathrm{z}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}\Updelta\mathrm{x}$. In den vorliegenden Ausführungen wird einfachheitshalber anstatt d die Notation $\partial$ verwendet.
43.
Für die Volatilität und den risikolosen Zinssatz wird üblicherweise auf die Berücksichtigung der zweiten Ableitung verzichtet, obwohl die Beziehung zwischen dem Optionspreis und diesen beiden Risikofaktoren ebenfalls nicht linear ist.
44.
Bei Optionspreissensitivitäten spricht man von Greeks, weil für deren Bezeichnung griechische Buchstaben wie Delta und Gamma verwendet werden.
45.
Bei Währungsoptionen kann die Dividendenrendite q durch den stetigen risikolosen Zinssatz für die Fremdwährung $\mathrm{r_{\text{FW, s}}}$ersetzt werden, um das Delta zu bestimmen.
46.
Vgl. Abschn. 15.5.3.
47.
Mit 150 Zeitintervallen resultiert mit dem Binomialmodell ein Call-Preis von EUR 11,40, der nahe am Preis des zeitkontinuierlichen Black/Scholes-Modells von EUR 11,42 liegt.
48.
Das mit dem Drei-Perioden-Binomialmodell berechnete Delta von 0,515 weicht vom Delta des Black/Scholes-Modell von 0,485 ab. Nimmt man ein Binomialmodell mit 150 Zeitintervallen, gelangt man zu einem Delta von ebenfalls 0,485.
49.
Vgl. Abschn. 15.7.2.
50.
In den folgenden Ausführungen wird die Formel für die Berechnung der Optionspreisänderung anhand der Taylor-Reihenentwicklung einfachheitshalber mit dem Gleichheitszeichen dargestellt, obwohl es sich hierbei um eine Näherungsformel handelt. Vgl. Abschn. 15.7.1.
51.
${\uppi}$ ist eine mathematische Konstante und beträgt 3,14159.
52.
Mit dem erweiterten Black/Scholes-Modell ergibt sich der gleiche Optionspreis wie mit der Taylor-Reihenentwicklung von EUR 12,92.
53.
Vgl. Abschn. 15.7.2.
54.
Das mit dem Drei-Perioden-Binomialmodell berechnete Gamma von 0,0115 weicht vom Gamma des Black/Scholes-Modells von 0,0104 ab. Wird ein Binomialmodell mit 150 Zeitintervallen verwendet, gelangt man zu einem genaueren Gamma von 0,0105.
55.
Vgl. Abschn. 15.7.5.
56.
Für die Berechnung von $\mathrm{N}^{\prime}(\mathrm{d}_{1})$ vgl. Abschn. 15.7.5.
57.
Vgl. Abschn. 15.6.1.
58.
Vgl. Hull und White 1987: The Pricing of Options on Assets with Stochastic Volatilities, S. 292 ff. sowie Hull und White 1988: An Analysis of the Bias in Option Pricing Caused by a Stochastic Volatility, S. 29 ff.
59.
Vgl. z. B. Watsham 1998: Futures and Options in Risk Management, S. 579.
60.
Vgl. Abschn. 15.2.
61.
Vgl. Chance 2003: Analysis of Derivatives for the CFA^® Program, S. 221.
62.
Vgl. Abschn. 15.2.
63.
Ein positives Theta bedeutet, dass der Optionspreis mit dem Zeitablauf zunimmt. Dies ist bei einer europäischen Put-Option auf eine Aktie ohne Dividende der Fall, wenn sie sich weit im Geld befindet, die Volatilität gering, der Zinssatz hoch und die Restlaufzeit kurz ist.
64.
1 Jahr besteht aus rund 252 Handelstagen.
65.
Vgl. Hull 2006: Options, Futures, and Other Derivatives, S. 359.

Literatur

Black, F., Scholes, M.: The Pricing of Options and Corporate Liabilities. J Polit Econ 81(3), 637–654 (1973)
Article Google Scholar
Black, F., Scholes, M.: The Valuation of Option Contracts and a Test of Market Efficiency. J Finance 27(2), 399–417 (1972)
Article Google Scholar
Brenner, M., Subrahmanyam, M.G.: A Simple Formula to Compute the Implied Volatility. Financial Analysts J 44(5), 80–83 (1988)
Article Google Scholar
Chance, D. M.: Analysis of Derivatives for the CFA^® Program, Charlottesville (2003)
Google Scholar
Chance, D.M.: Leap into the Unknown. Risk 6, 60–66 (1993)
Google Scholar
Corrado, C.J., Miller, T.: Volatility without Tears. Risk 9(7), 49–52 (1996)
Google Scholar
Cox, J.C., Ross, S.A., Rubinstein, M.: Option Pricing: A Simplified Approach. J financ econ 7(3), 229–263 (1979)
Article Google Scholar
Figlewski, S.: Theoretical Valuation Models. In: Figlewski, S., Silber, W. L., Subrahmanyam, M. G.: Financial Options: From Theory to Practice, Homewood, 77–134 (1990)
Google Scholar
Hull, J. C.: Options, Futures, and Other Derivatives, 6. Auflage, Upper Saddle River (2006)
Google Scholar
Hull, J.C., White, A.: An Analysis of the Bias in Option Pricing Caused by a Stochastic Volatility. Adv Futur Options Res 3, 29–61 (1998)
Google Scholar
Hull, J.C., White, A.: The Pricing of Options on Assets with Stochastic Volatilities. J Finance 42(2), 281–300 (1987)
Article Google Scholar
Kolb, R. W.: Futures, Options, & Swaps, 3. Auflage, Malden/Oxford (2000)
Google Scholar
Merton, R.C.: Theory of Rational Option Pricing. Bell J Econ Manag Sci 4(1), 141–183 (1973)
Article Google Scholar
Rudolph, B., Schäfer, K.: Derivative Finanzmarktinstrumente: Eine anwendungsbezogene Einführung in Märkte, Strategien und Bewertung, 2. Auflage, Berlin/Heidelberg (2010)
Google Scholar
Watsham, T. J.: Futures and Options in Risk Management, 2. Auflage, London/Boston (1998)
Google Scholar

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Mondello, E. (2017). Optionen. In: Finance. Springer Gabler, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-658-13199-9_15

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Published: 11 August 2017
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