Polynome und ihre Nullstellen

Zusammenfassung

Polynome spielen in vielen Bereichen der Mathematik eine wichtige Rolle, und auch wir haben sie in diesem Buch bereits mehrfach angetroffen. Im vorliegenden Abschnitt studieren wir grundlegende und computerorientierte Aspekte der Nullstellen reeller und komplexer Polynome in einer Variablen. Bereits das Polynom f(x)=x ²+1 illustriert, dass es hierbei von wesentlicher Bedeutung ist, in welchem Körper wir die Nullstellen bestimmen. Während sich die Strukturtheorie über den komplexen Zahlen in vielen Aspekten als einfacher erweist, ist man gerade in Anwendungen oft besonders an reellen Nullstellen interessiert.

Nach Herleitung des Fundamentalsatzes der Algebra studieren wir in den Abschn. 10.1–10.3 explizite Lösungsformeln für Polynome bis zum Grad 4. Anschließend stellen wir in Abschn. 10.4 einen zentralen Zusammenhang zwischen den Nullstellen von Polynomen und Eigenwerten her und diskutieren in Abschn. 10.5 die Resultante zweier Polynome. Abschließend behandeln wir einige algorithmische Techniken zur Untersuchung der reellen Nullstellen eines Polynoms.