Gleichgewichte und ihre Stabilität

Chapter
Part of the Springer Studium Mathematik - Bachelor book series (SSM)

Zusammenfassung

Gleichgewichte haben wir bereits in Kap. 4 als konstante Lösungen einer Differentialgleichung kennengelernt. In diesem Kapitel greifen wir dieses Konzept auf und beweisen zunächst, dass jeder Grenzwert einer Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung mit stetigem Vektorfeld zwingend ein Gleichgewicht sein muss.

Nachfolgend beschäftigen wir uns mit dem Begriff der Stabilität eines Gleichgewichts. Dieser wurde bereits in der Einführung am Beispiel des Pendels informell eingeführt und beschreibt, ob Lösungen, die in der Nähe eines Gleichgewichts starten, in der Nähe bleiben, gegen das Gleichgewicht konvergieren oder sich von dem Gleichgewicht entfernen. Hier wollen wir diesen Begriff mathematisch präzisieren und Techniken kennenlernen, mit denen man Stabilität mathematisch rigoros nachweisen kann, ohne die Lösungskurven der Differentialgleichung zu berechnen oder zu simulieren. Wir betrachten dabei durchgehend dynamische Systeme, die von autonomen Differentialgleichungen der Form (1.3) erzeugt werden und bezeichnen die Lösungen mit der Flussnotation \(\varphi^{t}(x_{0})\), vgl. Formel (3.13).

Stabilitätsbegriffe beschreiben stets asymptotische Eigenschaften, d. h. Eigenschaften für alle \(t\geq 0\) oder für \(t\to\infty\). In Kap. 4 haben wir in der Diskussion nach Satz 4.2 gesehen, dass die Stetigkeit der Lösung im Anfangswert x 0 keine Aussage über das asymptotische Verhalten der Lösungen zulässt, weswegen wir zur Stabilitätsanalyse weitergehende mathematische Techniken benötigen.

Literatur

  1. 1.
    Sontag, E. D.: Mathematical Control Theory. Springer, New York, 2nd ed., 1998. Google Scholar

Copyright information

© Springer Fachmedien Wiesbaden 2016

Authors and Affiliations

  1. 1.Mathematisches InstitutUniversität BayreuthBayreuthDeutschland
  2. 2.Zentrum MathematikTechnische Universität MünchenGarchingDeutschland

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