Integration und Integrale

Zusammenfassung

Auch die Integration gehört eindeutig zu den Grundrechenarten der Naturwissenschaften und insbesondere der Physik, und zwar aus verschiedenen Gründen. So ist sie die Umkehrung der Differentiation, führt also auf die Funktion, deren Ableitung gleich einer vorgegebenen Funktion ist. So informiert uns z.B. die Zeitintegration bei vorgegebener Beschleunigung über die Geschwindigkeit und bei vorgegebener Geschwindigkeit über den Aufenthaltsort. Diese Art der Integration über eine einzelne reelle Variable hat auch eine geometrische Interpretation, nämlich als die Bestimmung der Fläche unter einer vorgegebenen Kurve.

Auch in anderer Hinsicht kann die Integration geometrisch interpretiert werden. Durch Integration bestimmt man z.B. die Länge einer Kurvenstrecke, die Ausdehnung einer Fläche oder das Volumen eines Körpers.

Allgemeiner kann man durch Integration physikalische Größen bestimmen, die als Linien-, Flächen- oder Volumendichte vorgegeben sind. So ergibt sich die Masse eines Körpers durch die Integration der entsprechenden Massendichte über das Volumen des gesamten Körpers, und die Ladung einer leitenden Kugel erhält man durch Integration der Oberflächenladungsdichte über die gesamte Kugeloberfläche.

Außerdem ist die Integration sehr wichtig im Hinblick auf Kapitel [7] über Differentialgleichungen, da man solche Gleichungen oft auf Integrationen zurückführen kann. Die Integration ist daher für die Lösung von Differentialgleichungen eine der wichtigsten mathematischen Techniken.

In diesem Kapitel befassen wir uns „nur“ mit Integralen von Funktionen reeller Variabler. Außerdem werden in diesem Kapitel generell nur sogenannte „Riemann- Integrale“ besprochen, die als Grenzwert von „Riemann-Summen“ gebildet werden können. Falls nicht explizit anders erwähnt, wird außerdem angenommen, dass die zu integrierenden Funktionen im Integrationsbereich stetig sind. Zuerst führen wir in den Abschnitten [6.1] und [6.2] die Begriffe „Integration“ und „Integral“ ein und präsentieren einige Beispiele, Methoden zur numerischen Integration sowie typische Integrationstechniken. Danach werden in den Abschnitten [6.3] und [6.4] zwei- und dreidimensionale Integrale behandelt. Wir diskutieren insbesondere auch nicht-kartesische Koordinaten, wie Polar-, Kugel- und Zylinderkoordinaten, die für Integrationsprobleme mit speziellen Symmetrien sehr nützlich sind. Im letzten Abschnitt [6.5] befassen wir uns dann mit der asymptotischen Entwicklung von Integralen und führen ein weiteres Symbol „≈“ zur Andeutung einer „asymptotischen Reihe“ ein.