Vektoren, Matrizen und Determinanten

Zusammenfassung

In diesem Kapitel befassen wir uns mit den Themen Vektoren, Matrizen und Determinanten, die eng miteinander verknüpft sind. Die Motivation für die Untersuchung von Vektoren ist einerseits, dass diese zur Beschreibung der physikalischen Phänomene im Ortsraum – z.B. in der Newton’schen Mechanik – unerlässlich sind, und andererseits, dass Vektoren auch an mehreren Stellen in linearen Gleichungssystemen auftreten. In beiden Anwendungen sind auch Matrizen und Determinanten von zentraler Bedeutung: Im Ortsraum treten sie automatisch in Vektor- und Spatprodukten auf, und die linearen Gleichungssysteme werden geradezu durch Matrizen definiert.

In der kurzen Einführung [3.1] über Vektoren und Vektorräume leiten wir in die Thematik ein. Anschließend wird in Abschnitt [3.2] das Skalarprodukt behandelt, das zwei Vektoren auf eine Zahl abbildet. Wir zeigen dann in Abschnitt [3.3], dass zwei dreidimensionale Vektoren mit Hilfe eines Kreuzproduktes auch zu einem dreidimensionalen Vektor kombiniert werden können. Skalar- und Kreuzprodukt lassen sich zu einem Spatprodukt kombinieren, das drei dreidimensionale Vektoren auf eine reelle Zahl abbildet; dies ist das Thema von [3.4]. Relativ ausführlich beschäftigen wir uns dann mit dem Thema lineare Gleichungssysteme, in Abschnitt [3.5] für zwei Variable und in Abschnitt [3.6] für drei Variable. In diesen beiden Abschnitten [3.5] und [3.6] werden neben den Themen Matrizen und Determinanten auch die Matrixmultiplikation, die Bildung der inversen Matrix, die Eigenschaften von Drehungen sowie einige speziellere Themen angesprochen. Abschließend zeigen wir in Abschnitt [3.7], dass die für zwei- und dreidimensionale Gleichungssysteme entwickelten Methoden und Techniken sehr elegant für n-dimensionale Systeme verallgemeinert werden können. Dieser Abschnitt zeigt die Gemeinsamkeiten von Gleichungssystemen in verschiedenen Dimensionen und hebt die allgemeinen Strukturen und Ergebnisse hervor.