Zusammenfassung
Wir habenMatrizen bereits anhand ihres Rangs und ihrer Determinante charakterisiert. In diesem Kapitel ordnen wir mit Hilfe der Determinantenabbildung jeder (quadratischen) Matrix ein eindeutig bestimmtes Polynom zu, das wir das charakteristische Polynom der Matrix nennen. Dieses Polynom repräsentiert wichtige Informationen über die gegebene Matrix. Unter anderem kann die Determinante der Matrix am charakteristischen Polynom abgelesen und somit auch die Frage der Invertierbarkeit der Matrix beantwortet werden. Noch wichtiger sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms, die die Eigenwerte der gegebenen Matrix genannt werden.
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Notes
- 1.
Arthur Cayley (1821–1895) bewies diesen Satz 1858 für n = 2 und behauptete, ihn ebenfalls für n = 3 verifiziert zu haben. Er hielt es nicht für nötig, einen Beweis für allgemeines n zu liefern. Sir William Rowan Hamilton (1805–1865) bewies 1853 ebenfalls einen Spezialfall, nämlich den Fall n = 4 im Zusammenhang mit seinen Untersuchungen der Quaternionen. Einen der ersten Beweise für allgemeines n gab Ferdinand Georg Frobenius (1849–1917) 1878. James Joseph Sylvester (1814–1897) sorgte 1884 für die Namensgebung, als er den Satz als „no-little-marvellous Hamilton-Cayley theorem“ bezeichnete.
- 2.
Oskar Perron (1880–1975)
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Liesen, J., Mehrmann, V. (2015). Das charakteristische Polynom und Eigenwerte von Matrizen. In: Lineare Algebra. Springer Studium Mathematik - Bachelor. Springer Spektrum, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-658-06610-9_8
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DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-658-06610-9_8
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Publisher Name: Springer Spektrum, Wiesbaden
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Online ISBN: 978-3-658-06610-9
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