Die Pell’sche Gleichung

Zusammenfassung

Die diophantische Gleichung x ²−dy ² = 1 heißt Pell’sche Gleichung. Dabei ist d eine natürliche Zahl, die kein Quadrat ist. Diophantisch bedeutet, dass ganzzahlige Lösungen gesucht sind. Diese Gleichung, deren Theorie schon von Lagrange behandelt wurde, besitzt neben der trivialen Lösung x = ±1, y = 0 stets auch unendlich viele nicht-triviale Lösungen. Z.B. ist für d = 62 das Paar (63, 8) eine Lösung, wovon man sich leicht durch Kopfrechnung überzeugen kann. Umso erstaunlicher ist es, ist, dass für die benachbarte Zahl d = 61 die kleinste nicht-triviale Lösung durch das Paar (1766319049, 226153980) gegeben wird. Die Lagrange’sche Lösungs-Methode benützt die Kettenbruch-Entwicklung von √d. Die Lösungen der Pell’schen Gleichung hängen eng mit der Einheitengruppe reell-quadratischer Zahlkörper zusammen.