Quadratische Zahlkörper

Zusammenfassung

Die meisten rationalen Zahlen a sind nicht Quadrat einer anderen rationalen Zahl, d.h. die Gleichung X² = a ist in ℚ unlösbar. Erweitert man den Körper der rationalen Zahlen durch Adjunktion einer Wurzel aus a, so entsteht ein sog. quadratischer Zahlkörper, der mit ℚ(√a) bezeichnet wird. Analog zum Ring der ganzen Zahlen ℤ ⊂ ℚ hat man in ℚ (√a) einen Unterring R ganz-algebraischer Zahlen, der eine Erweiterung von ℤ darstellt. Der Ring der ganzen Gauß’schen Zahlen, dem wir schon einigemal begegnet sind, ist ein Beispiel dafür. Interessant ist, dass einige Primzahlen p ∈ ℤ beim Übergang zur quadratischen Erweiterung prim bleiben, andere dagegen nicht. Mit Hilfe der Theorie der quadratischen Reste kann man diese Frage genau entscheiden.