Der diskrete Logarithmus

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Zusammenfassung

Der natürliche Logarithmus der klassischen Analysis ist die Umkehrung der Exponentialfunktion, welche die Zahlengerade ℝ stetig und bijektiv auf die Menge ℝ + aller positiven reellen Zahlen abbildet. Aufgrund der Funktionalgleichung exp(x + y) = exp(x) exp(y) liefert die Exponentialfunktion einen Isomorphismus exp : ℝ → ℝ der additiven Gruppe (ℝ,+) auf die multiplikative Gruppe ℝ. Als Umkehrung davon ist der Logarithmus log : ℝ → ℝ ein Isomorphismus der multiplikativen Gruppe ℝ auf die additive Gruppe von ℝ. Der diskrete Logarithmus ist ein Analogon des klassischen Logarithmus. Sei p eine Primzahl und g eine Primitivwurzel modulo p. Dann ist die Abbildung expg : ℤ/(p−1) → 𝔽 p, kg k , ein Isomorphismus der additiven Gruppe (ℤ/(p−1), +) auf die multiplikative Gruppe des Körpers 𝔽 p = ℤ/p; seine Umkehrung logg: 𝔽 p → ℤ/(p−1) heißt diskreter Logarithmus (zur Basis g). Allgemeiner kann man für eine beliebige zyklische Gruppe G der Ordnung m mit erzeugendem Element g den diskreten Logarithmus als Umkehrung der Exponentialabbildung expg: ℤ/mG, kg k , definieren. Während die Funktion expg mit dem schnellen Potenzierungs-Algorithmus effizient berechnet werden kann, ist es im Allgemeinen viel schwieriger, den diskreten Logarithmus zu berechnen. Damit beschäftigen wir uns in diesem Paragraphen.

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© Springer Fachmedien Wiesbaden 2015

Authors and Affiliations

  1. 1.Mathematisches InstitutLudwig-Maximilians-UniversitätMünchenDeutschland

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