Die Peano-Axiome

Chapter

Zusammenfassung

Die elementare Zahlentheorie, die wir in diesem Buch vor allem vom algorithmischen Standpunkt aus betrachten wollen, handelt hauptsächlich von den natürlichen Zahlen, die aus dem Bedürfnis des Menschen entstanden sind, Mengen gleichartiger Objekte (etwa eine Herde Schafe) abzuzählen und anschließend mit diesen Maßzahlen Vergleiche anzustellen und zu rechnen. Will man die natürlichen Zahlen auf eine axiomatische Grundlage stellen, so bieten sich die (vor hundert Jahren aufgestellten) Peano-Axiome an, die von dem Prinzip ausgehen, dass es zu jeder natürlichen Zahl eine nächst größere gibt. Im Anschluss an die Peano-Axiome kann man die Addition, Multiplikation und Potenzierung definieren und die dafür geltenden Rechen-Gesetze beweisen, was wir exemplarisch durchführen ohne Vollständigkeit anzustreben. Aus den Definitionen von Addition, Multiplikation und Potenzierung lassen sich jeweils unmittelbar rekursive Algorithmen zu ihrer Berechnung ableiten, die aber wenig effizient sind. Zur Vorbereitung von schnelleren Algorithmen im nächsten Paragraphen leiten wir noch die Binär-Darstellung der natürlichen Zahlen her.

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© Springer Fachmedien Wiesbaden 2015

Authors and Affiliations

  1. 1.Mathematisches InstitutLudwig-Maximilians-UniversitätMünchenDeutschland

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