Differentialrechnung

Zusammenfassung

Der Differentialquotient – auch Ableitung genannt – ist das Arbeitstier der Analysis. Wenn Sie ihn verstehen und einzusetzen wissen, liegt Ihnen die Welt der Funktionen zu Füßen. Ein solches Verständnis bedeutet:

• Den Ableitungsbegriff geometrisch und rechnerisch verstehen. Dazu gehört auch, zu verstehen, dass nicht jede Funktion eine Ableitung hat.

• Die Ableitungen der wichtigsten Funktionen und die Rechenregeln für Ableitungen (Produkt-, Quotienten- und Kettenregel, Ableitung der Umkehrfunktion) beherrschen.

• Die wichtigsten Anwendungen des Ableitungsbegriffs und die zugehörigen Sätze kennen. Dies sind:

– Das Auffinden lokaler Extrema mittels der Nullstellen der Ableitung.

– Die Charakterisierung von Monotonie und Konvexität einer Funktion mittels der Ableitung. Hier wird der Mittelwertsatz verwendet. Diese Eigenschaften lassen sich dann zum Beispiel zum Beweis einiger fundamentaler Ungleichungen verwenden.

– Die Approximation von Funktionen mittels Polynomen (Taylorapproximation und Taylorreihe).

Auch in den Anwendungen der Mathematik spielt die Ableitung eine zentrale Rolle, zum Beispiel als Geschwindigkeit eines bewegten Körpers, als Wachstumsgeschwindigkeit einer Population oder als Änderungsrate einer Warenmenge oder eines Kapitals.