Stetigkeit

Zusammenfassung

Der mathematische Begriff der Stetigkeit entspricht der anschaulichen Vorstellung einer kontinuierlichen Veränderung: Stetigkeit einer Funktion $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ bedeutet, dass sich 𝑓(x) nur wenig ändert, wenn sich x nur wenig ändert. Was heißt wenig? Dies zu präzisieren ist unser erstes Ziel in diesem Kapitel. Es ist eng mit dem Grenzwertbegriff verwandt, den wir zunächst von Folgen auf Funktionen verallgemeinern.

Stetigkeit ist eines der fundamentalen Konzepte der Mathematik, da stetige Funktionen sehr nützliche Eigenschaften haben. Diese sind im Zwischenwertsatz und dem Satz vom Maximum und Minimum formuliert.

Schließlich brauchen wir Methoden, um nachzuprüfen, ob eine gegebene Funktion stetig ist. Neben der direkten Anwendung der Definition lernen Sie die algebraischen Rechenregeln, die stetige Fortsetzung von einer dichten Teilmenge und die Übertragung der Stetigkeit auf den Grenzwert einer Funktionenfolge kennen. Hier braucht man den Begriff der gleichmäßigen Konvergenz.