Gleichgewichtspunkte

Zusammenfassung

Aufgrund des Rektifizierungssatzes sehen lokal um einen regulären Punkt alle lipschitzstetigen Vektorfelder gleich aus – sie unterscheiden sich dort nur durch ihre Dimension. Dies gilt nicht mehr für singuläre Punkte, die wir nun betrachten.

Ist p singulärer Punkt von ν, also ν(p) = 0, so ist die konstante Kurve $\phi_p : t \mapsto p$ die eindeutige Lösungskurve zum Anfangswert p. Modelliert das Vektorfeld ein konkretes dynamisches System, so ändert sich also die durch den Punkt p beschriebene Konfiguration nicht mit der Zeit – das System befindet sich in einem Gleichgewicht. Man nennt daher einen singulären Punkt p auch einen Gleichgewichtspunkt, und $\phi_p$ die zugehörige Gleichgewichtslösung von ν.

Uns interessiert die Frage, wie sich die Lösungskurven verhalten, wenn wir den Gleichgewichtspunkt verlassen. Führen kleine Abweichungen nur zu unwesentlichen oder zu drastischen Änderungen der Lösungskurven?

Das Paradigma dieser Fragestellung ist das mathematische Pendel. Kleine Auslenkungen aus der unteren Ruhelage führen nur zu kleinen Pendelbewegungen um diese Ruhelage – man nennt diese Ruhelage daher stabil. Kleinste Änderungen der oberen Ruhelage führen dagegen von dieser weg – man nennt sie daher instabil.