Gewöhnliche Differenzialgleichungen

Zusammenfassung

Wir betrachten nun allgemeine gewöhnliche Differenzialgleichungen erster Ordnung in endlich-dimensionalen Räumen von der Form $\dot x = \nu(x)$. Anders als im Fall linearer Differenzialgleichungen gibt es hier meist keine Darstellung von Lösungen mittels eines Exponenzials oder Ähnlichem, und sogar ihre Existenz oder Eindeutigkeit sind meist nicht evident.

Man benötigt daher allgemeine Existenz- und Eindeutigkeitssätze. Für die Existenz reicht schon die Stetigkeit der rechten Seite, und für die Eindeutigkeit deren lokale Lipschitzstetigkeit. Diese zieht dann auch die stetige Abhängigkeit der Lösungen von den Anfangswerten nach sich.

Eine Konsequenz der Existenz und Eindeutigkeit ist die Flusseigenschaft. Fasst man alle Lösungen zu einer Familie von Zeit-t-Abbildungen Φ ^t zusammen, so gilt $\phi^0 = \mathrm{id}, \quad \phi^{s+t} = \phi^s \circ \phi^t$. Dies ist die Verallgemeinerung der entsprechenden Eigenschaften der Familie der Zeit-t-Abbildungen e^tA für lineare Differenzialgleichungen.