Lineare Differenzialgleichungen

Zusammenfassung

In den nächsten vier Kapiteln entwickeln wir die Grundlagen der lokalen Theorie gewöhnlicher Differenzialgleichungen. In diesem Kapitel beginnen wir mit den linearen Differenzialgleichungen. Diese sind am leichtesten zu verstehen und bilden ohnehin die Grundlage für die lokale Theorie allgemeiner nichtlinearer Differenzialgleichungen.

Ist A ein linearer Operator auf einem Vektorraum V endlicher Dimension, so heißt

$\quad \dot x = Ax$

eine lineare Differenzialgleichung auf V. Eine Lösung dieser Gleichung ist jede differenzierbare Kurve ϕ: I → V mit einem nichtleeren Intervall I, so dass

$\quad \dot \phi (t) = A \phi (t), \quad t \in I$.

Wir werden sehen, dass jedes Anfangswertproblem

$\quad \dot x = Ax,\quad x(0) = x_0$

eine eindeutige und sogar für alle Zeiten definierte Lösung ϕ: ℝ → V mit

$\quad \phi(t) = e^{tA}x_0$

besitzt. Dazu müssen wir nur das Symbol e^tA geeignet definieren. Eine Darstellung des Operators A in einer geeigneten Normalform verhilft uns dann zu einem umfassenden Verständnis aller Lösungen von $\dot x = Ax$.