Wegintegrale

Zusammenfassung

Die entlang eines geradlinigen Weges bei gleichbleibender Krafteinwirkung geleistete Arbeit ist das Produkt aus zurückgelegter Wegstrecke und in Richtung dieser Wegstrecke wirkender Kraftkomponente. Will man allgemeiner die geleistete Arbeit entlang eines beliebigen Weges γ innerhalb eines Kraftfeldes v bestimmen, so ist in jedem Punkt die anliegende Kraft auf den momentanen Geschwindigkeitsvektor zu projizieren und das resultierende Produkt über den Weg zu integrieren. Dies führt zu einem Integral der Form $\int_{a}^{b} \langle \nu(\gamma(t),\dot \gamma(t)\rangle \ \mathrm{d}t$ für die geleistete Arbeit.

Mathematisch kann man den Integranden auffassen als die Anwendung der Linearform $\langle \nu ,\cdot \rangle$ auf den Vektor $\dot \gamma$. Die Weiterentwicklung dieses Gedankens führt zum Begriff der Differenzialform, die entlang eines Weges zu integrieren ist. Dies vermeidet unter anderem die Einbeziehung eines Skalarprodukt und erlaubt eine koordinatenfreie Interpretation solcher Kurvenintegrale.