Zusammenfassung
Als Erstes untersuchen wir skalare Funktionen auf dem ℝn auf das Vorliegen von Extremalstellen. Der Satz von Fermat gilt auch hier, und eine Betrachtung der zweiten Ableitung in Form der Hessematrix ergibt hinreichende Bedingungen für das Vorliegen von Maxima und Minima. Daran schließt eine kurze Diskussion konvexer Funktionen an.
Als Zweites formulieren wir den lokalen Umkehrsatz für Abbildungen des ℝn in sich. Wir beweisen ihn – recht ausführlich – zuerst innerhalb der Kategorie der lipschitzstetigen Abbildungen. Höhere Regularität betrachten wir erst danach und bereitet keine neuen Probleme.
Eine unmittelbare Folge des Umkehrsatzes ist der fundamentale Satz über implizite Funktionen. Er bildet die Grundlage für die Definition gleichungsdefinierter Mannigfaltigkeiten, und daran anknüpfend die Diskussion von Extrema mit Nebenbedingungen und der Methode der Lagrangemultiplikatoren.
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Pöschel, J. (2014). Mehrdimensionale Analysis. In: Etwas mehr Analysis. Springer Spektrum, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-658-05860-9_3
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