Folgen

Zusammenfassung

Eine Folge in einer beliebigen Menge X ist eine Funktion

f : ℕ → X,

die man üblicherweise durch Aufzählung ihrer Funktionswerte in der Form

(f ₁, f ₂, f ₃, ..) = (f _n ) _n≥1 = (f _n ) _n = (f _n )

angibt. Man spricht von Zahlenfolgen, wenn f eine Abbildung nach ℝ oder ℂ ist und alle Folgenglieder demzufolge reelle oder komplexe Zahlen sind.

An einer Folge interessiert uns vor allem ihr asymptotisches Verhalten – also wie sie sich verhält, wenn der Folgenindex gegen Unendlich strebt. Gibt es zum Beispiel einen Punkt, dem sich die Folge ›immer weiter annähert‹ und den man als ihren Grenzwert bezeichnen könnte?

Der Begriff des Grenzwertes ist von fundamentaler Bedeutung für die gesamte Analysis. Er präzisiert die intuitive Vorstellung, dass eine Folge einem bestimmten Punkt ›beliebig nahe‹ kommt. Auf ihm basieren die Konzepte der Stetigkeit, Integration und Differenziation.