Natürliche, ganze und rationale Zahlen

Zusammenfassung

Die Existenz der reellen Zahlen setzen wir von nun an voraus. Jetzt geht es darum, unter diesen die natürlichen, ganzen, und rationalen Zahlen zu identifizieren.

Die natürlichen Zahlen sind uns von frühester Kindheit durch das Zählen von Objekten vertraut:

1 := 1,

2 := 1 + 1,

3 := 2 + 1 = 1 + 1 + 1,

und so weiter...: von einer natürlichen Zahl gelangen wir zur nächsten, indem wir 1 addieren, ad infinitum. Auch wissen wir, dass

1 < 2 < 3 < .. ,

in Übereinstimmung mit den Anordnungsaxiomen. Dies gilt übrigens in jedem angeordneten Körper, den wir brauchen ja nur die Information, dass 0 < 1. Daraus ergibt sich, dass jeder angeordnete Körper seine eigene ›Version‹ der natürlichen Zahlen enthält.

Die additiv Inversen zu den natürlichen Zahlen zuzüglich der Null ergeben den Ring der ganzen Zahlen. Die Brüche aus allen ganzen Zahlen ergeben dann den Körper der rationalen Zahlen.