Spezielle Funktionen

Zusammenfassung

Spezielle Funktionen sind das Salz der Analysis. An erster Stelle stehen dabei die Exponenzialfunktion und die trigonometrischen Funktionen, mit deren Hilfe Wachstums- und Schwingungsvorgänge beschrieben werden. Solche Vorgänge werden, entsprechend ihrer physikalischen Natur, durch Differenzialgleichungen beschrieben.

Das einfachste und zugleich wichtigste Wachstumsgesetz ist

ϕ’ = ϕ.

Bezeichnet ϕ irgendeine positive Messgröße, so bringt diese Gleichung zum Ausdruck, dass die Veränderungsrate ϕ’ proportional zu ϕ selbst ist – wobei der Proportionalitätsfaktor hier der Einfachheit halber 1 ist.

Das einfachste Schwingungsgesetz wird beschrieben durch die Gleichung

ϕ’’ = −ϕ.

Bezeichnet ϕ die Auslenkung aus einer gewissen Ruhelage, so bringt sie zum Ausdruck, dass die Rückstellkraft, also im Wesentlichen die Beschleunigung ϕ’’ , proportional zur Auslenkung ϕ wächst und in die entgegengesetzte Richtung weist.

Lösungen des Wachstumsgesetzes werden durch Exponenzialfunktionen, Lösungen des Schwingungsgesetzes durch trigonometrische Funktionen beschrieben. Den allgemeinen Existenzsatz für Lösungen von Differenzialgleichungen werden wir allerdings erst später im Band ›Etwas mehr Analysis‹ beschreiben. Ersatzweise konstruieren wir Lösungen ›von Hand‹, was glücklicherweise nicht schwierig ist.