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V49 Schubmodulbestimmung aus Torsionsschwingungen

  • Eckard Macherauch
  • Hans-Werner Zoch
Chapter

Zusammenfassung

Bei einem einseitig eingespannten Zylinder des Durchmessers 2R und der Länge L besteht zwischen Torsionsmoment M t und Torsionswinkel φ der Zusammenhang
$$ {{M}_{\text{t}}}=G\frac{\varphi }{L}\int\limits_{0}^{R}{{{r}^{2}}}2\pi r\mathrm{d}r=\frac{\pi G{{R}^{4}}}{2L}\varphi .$$
Ist der Zylinder sehr lang gegenüber seinem Durchmesser und wird sein unteres Ende mit einer zylindrischen Scheibe A verbunden, so führt das ganze System nach Wegnahme des äußeren Momentes Drehschwingungen aus. Es liegt ein Torsionspendel vor. Ist θ 0 das Massenträgheitsmoment des Systems bezüglich der Drahtachse und ist die Systemdämpfung hinreichend klein, so lautet die Bewegungsdifferentialgleichung
$$ {{\Theta }_{0}}\ddot{\varphi }=-{{M}_{\text{t}}}(\varphi )=-\frac{\pi G{{R}^{4}}}{2L}\varphi =-D\varphi $$
bzw.
$$ \ddot{\varphi }=-{{\omega }^{2}}\varphi .$$
Dabei ist D das sog. Direktionsmoment und ω die Kreisfrequenz des schwingungsfähigen Systems. Die Lösung dieser Differentialgleichung lautet
$$ \varphi ={{\varphi }_{0}}\cos \omega t={{\varphi }_{0}}\cos 2\pi \nu t={{\varphi }_{0}}\cos 2\pi \frac{t}{{{t}_{0}}}$$
mit der Schwingungsdauer
$$ {{t}_{0}}=2\pi \sqrt{\frac{{{\Theta }_{0}}}{D}}=2\pi \sqrt{\frac{2L{{\Theta }_{0}}}{\pi G{{R}^{4}}}}.$$
Somit ergibt sich bei bekannten L, R und θ 0 durch Messung von t 0 der Schubmodul zu
$$ G=\frac{8\pi L{{\Theta }_{0}}}{{{R}^{4}}t_{0}^{2}}.$$

Weiterführende Literatur

  1. [Arm71]
    Armstrong, P.E.: Measurements of Elastic Constants. In: Techniques of Metals Research, Bd. V, S. 123–156. Interscience, New York (1971)Google Scholar

Copyright information

© Springer Fachmedien Wiesbaden 2014

Authors and Affiliations

  1. 1.KarlsruheDeutschland
  2. 2.IWT - Stiftung Institut für WerkstofftechnikBremenDeutschland

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