V49 Schubmodulbestimmung aus Torsionsschwingungen

Zusammenfassung

Bei einem einseitig eingespannten Zylinder des Durchmessers 2R und der Länge L besteht zwischen Torsionsmoment M _t und Torsionswinkel φ der Zusammenhang

$$ {{M}_{\text{t}}}=G\frac{\varphi }{L}\int\limits_{0}^{R}{{{r}^{2}}}2\pi r\mathrm{d}r=\frac{\pi G{{R}^{4}}}{2L}\varphi .$$

Ist der Zylinder sehr lang gegenüber seinem Durchmesser und wird sein unteres Ende mit einer zylindrischen Scheibe A verbunden, so führt das ganze System nach Wegnahme des äußeren Momentes Drehschwingungen aus. Es liegt ein Torsionspendel vor. Ist θ ₀ das Massenträgheitsmoment des Systems bezüglich der Drahtachse und ist die Systemdämpfung hinreichend klein, so lautet die Bewegungsdifferentialgleichung

$$ {{\Theta }_{0}}\ddot{\varphi }=-{{M}_{\text{t}}}(\varphi )=-\frac{\pi G{{R}^{4}}}{2L}\varphi =-D\varphi $$

bzw.

$$ \ddot{\varphi }=-{{\omega }^{2}}\varphi .$$

Dabei ist D das sog. Direktionsmoment und ω die Kreisfrequenz des schwingungsfähigen Systems. Die Lösung dieser Differentialgleichung lautet

$$ \varphi ={{\varphi }_{0}}\cos \omega t={{\varphi }_{0}}\cos 2\pi \nu t={{\varphi }_{0}}\cos 2\pi \frac{t}{{{t}_{0}}}$$

mit der Schwingungsdauer

$$ {{t}_{0}}=2\pi \sqrt{\frac{{{\Theta }_{0}}}{D}}=2\pi \sqrt{\frac{2L{{\Theta }_{0}}}{\pi G{{R}^{4}}}}.$$

Somit ergibt sich bei bekannten L, R und θ ₀ durch Messung von t ₀ der Schubmodul zu

$$ G=\frac{8\pi L{{\Theta }_{0}}}{{{R}^{4}}t_{0}^{2}}.$$