Die Konstruktion digitaler Filter

Zusammenfassung

Es werden vornehmlich LSI-Filter $\boldsymbol{\mathsf{F}}$ mit einer in $z^{{-1}}$ rationalen Systemfunktion

$$\boldsymbol{\varPsi}_{{\boldsymbol{\mathsf{F}}}}(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}=\frac{\sum _{{\kappa=0}}^{{k}}u_{{\kappa}}z^{{-\kappa}}}{\sum _{{\mu=0}}^{{m}}v_{{\mu}}z^{{-\mu}}}$$

(4.1)

behandelt. Die Berechnung von Amplituden- und Phasengang kann daher nach Abschn. 3.10 erfolgen. Einige Werte lassen sich aber direkt ablesen. Z. B. ist wegen $e^{{0}}=1$

$$\boldsymbol{\gamma}_{{\boldsymbol{\mathsf{F}}}}(0)=\boldsymbol{\varPsi}_{{\boldsymbol{\mathsf{F}}}}(1)=\frac{P(1)}{Q(1)}=\frac{\sum _{{\kappa=0}}^{{k}}u_{{\kappa}}}{\sum _{{\mu=0}}^{{m}}v_{{\mu}}}$$

(4.2)

Nach Abschn. 3.8 gehört zu der Systemfunktion das Filter

$$\begin{aligned}&v_{{0}}\boldsymbol{\mathsf{F}}(\boldsymbol{x})(n)+v_{{1}}\boldsymbol{\mathsf{F}}(\boldsymbol{x})(n-1)+\cdots+v_{{m}}\boldsymbol{\mathsf{F}}(\boldsymbol{x})(n-m)\\ &=u_{{0}}\boldsymbol{x}(n)+u_{{1}}\boldsymbol{x}(n-1)+\cdots+u_{{k}}\boldsymbol{x}(n-k)\end{aligned}$$

(4.3)

Besteht die Systemfunktion nur aus einem Polynom in $z^{{-1}}$, dann fügt man das konstante Nennerpolynom $Q(z^{{-1}})=1$ hinzu,

$$\boldsymbol{\varPsi}_{{\boldsymbol{\mathsf{F}}}}(z)=P(z)=\sum _{{\kappa=0}}^{{k}}u_{{\kappa}}z^{{-\kappa}}=\frac{\sum _{{\kappa=0}}^{{k}}u_{{\kappa}}z^{{-\kappa}}}{1}$$

(4.4)

um zu dem folgenden Filter zu gelangen:

$$\boldsymbol{\mathsf{F}}(\boldsymbol{x})(n)=u_{{0}}\boldsymbol{x}(n)+u_{{1}}\boldsymbol{x}(n-1)+\cdots+u_{{k}}\boldsymbol{x}(n-k)$$

(4.5)

Wird die Systemfunktion mit einer (komplexen) Konstanten multipliziert, ändern sich Lage und Art der Nullstellen und Pole nicht, es ist daher möglich, einen der Koeffizienten zu normieren, ohne Einschränkungen befürchten zu müssen, etwa . Wie weiter oben schon bemerkt wurde, ist es allerdings recht lästig, diesen Spezialfall bei allen Berechnungen und Formeln berücksichtigen zu müssen.