Polarkoordinaten in der komplexen Ebene

Zusammenfassung

Verbindet man eine komplexe Zahl z mit den cartesischen Koordinaten x und y, also $z=x+\boldsymbol{i}y$, mit dem Nullpunkt der komplexen Ebene durch eine gerade Linie, dann ist die Länge r dieser Linie der Betrag der komplexen Zahl: $r=\left\lvert z\right\rvert$. Denn an Abb. 2.1 kann direkt $r^{{2}}=x^{{2}}+y^{{2}}$ abgelesen werden. Bestimmt man nun noch den Winkel $\varphi$, um den die positive reelle Achse gegen den Uhrzeigersinn gedreht werden muss, um mit der Verbindungslinie von z zum Nullpunkt zur Deckung zu kommen, dann kann man offenbar bei gegebenem Paar $(r,\varphi)$ auf eindeutige Weise zur Zahl z gelangen: Man hat nur die positive reelle Achse um den Winkel $\varphi$ gegen den Uhrzeigersinn zu drehen und auf ihr vom Nullpunkt aus die Strecke r abzutragen. Die Eindeutigkeit verlangt allerdings, dass höchstens eine volle Drehung der Achse zugelassen ist, etwa mit der Einschränkung $0\le\varphi<2\pi$. Jedes Paar reeller Zahlen $(r,\varphi)$ mit $r\ge 0$ und $0\le\varphi<2\pi$ beschreibt daher genau eine komplexe Zahl z. Diese Polarkoordinaten bestehen aus dem Betrag r der Zahl und dem Polarwinkel (oder kurz Polwinkel).

Die Polarkoordinaten einer komplexen Zahl haben zwar eine handfeste anschauliche Bedeutung, doch ist noch zu klären, wie man bei gegebenen x und y zu den Polarkoordinaten $(r,\varphi)$ gelangt, und natürlich umgekehrt, wie bei gegebenen r und $\varphi$ die cartesischen Koordinaten $(x,y)$ berechnet werden können.