Vektorbündel im metastabilen Bereich

Zusammenfassung

Inhalt des letzten Kapitels ist die Untersuchung stabil trivialer Bündel mit Methoden der stabilen Homotopietheorie. Während in den vorherigen Kapitel die Beziehung eines Vektorbündels zur unterliegenden sphärischen Faserung die Hauptrolle spielte, geht es jetzt hauptsächlich um die Übersetzung von instabilen Daten in stabile. Dies ist oft im metastabilen Dimensionsbereich, der direkt an den stabilen Bereich anschließt, möglich. Typisch ist zum Beispiel das Vorliegen einer exakten Sequenz in der jeweils zwei stabile Gruppen eine instabile umfassen und so einen Zugriff auf diese ermöglichen. Ausgangspunkt ist der Satz von Barratt-Mahowald, dessen Beweis in den letzten Kapiteln vorbereitet wurde und der nun zunächst zu Ende geführt werden soll. Dieser Satz beantwortet die Frage nach der maximalen Bündelreduktion von stabilen Bündeln über Sphären, ist also das Analogon des Vektorfeldsatzes, der ja dieses Problem für das Tangentialbündel der Sphäre löst. Er erlaubt im metastabilen Bereich eine Trennung von stabilen und instabilen Bündeln über Sphären und nachfolgend eine vollständige Übersetzung der Gruppe ST^n−k(S ⁿ) der (n − k)- dimensionalen stabil trivialen Bündeln über S ⁿ in eine stabile Homotopiegruppe.