Adams-Vermutung und Berechnung von J(X)

Zusammenfassung

Erstes Ziel dieses Kapitels ist das Kennenlernen von Methoden, die der Berechnung der Gruppe J(X) - der stabilen Faserhomotopieäquivalenzklassen von orthogonalen Sphärenbündeln - dienen. Die Frage, wie die zusätzlichen nichtlinearen Identifikationen aussehen, die beim Vergessen der linearen Struktur hinzukommen, hat zur Adams-Vermutung geführt. Diese beschreibt die zusätzlich nötigen Relationen mit Hilfe der Adams-Operationen der K-Theorie. Durch die Lösung der Adams-Vermutung ist nun eine rein K-theoretische Berechnung der Gruppen J(X) möglich geworden. Die im vorhergehenden Kapitel behandelten zwei Hauptaspekte der J-Theorie, nämlich die Frage wann ein Vektorbündel für die stabile Homotopie orientierbar ist und die Berechnung des Bildes des J-Homomorphismus J : ⁺SVekt_ℝ(ΣX) → π \( \begin{matrix} 0\\ s \end{matrix} \)(X), die für viele geometrische Fragen von Wichtigkeit ist, besitzen damit rein K-theoretische Lösungen.