Differentialrechnung im Rⁿ

Zusammenfassung

In diesem Kapitel werden zunächst die wichtigsten Grundlagen aus der Theorie der metrischen Räume und der topologischen Räume eingeführt, mit denen die Begriffe Grenzwert von Folgen und Stetigkeit von Funktionen definiert werden können. Ein eigener Paragraph ist dem wichtigen Begriff der Kompaktheit gewidmet. Die eigentliche Differentialrechnung von Funktionen mehrerer Veränderlichen beginnt mit der Definition der partiellen Ableitungen, mit deren Hilfe die insbesondere in der Physik wichtigen Differential-Operatoren Gradient, Rotation und Divergenz sowie der Laplace-Operator eingeführt werden können. Weitere Anwendungen der Differentialrechnung mehrerer Veränderlichen sind die Entwicklung von Funktionen in Taylor-Reihen, die Theorie der Maxima und Minima, sowie implizite Funktionen und damit zusammenhängend Untermannigfaltigkeiten. Das Kapitel schließt mit der Untersuchung von parameter-abhängigen Integralen, in deren Rahmen die Eulerschen Differentialgleichungen der Variationsrechnung abgeleitet werden.