Zusammenfassung
Das dritte Kapitel beschreibt Einfaktormodelle. DasMarktmodell bestimmt die Rendite einerAnlage über eine lineare Regression zwischen historischen Anlage- undMarktrenditen. ImVergleich zur Konstruktion der Effizienzkurve mit historischen Renditedaten (Markowitz-Modell) benötigt das Marktmodell weit weniger Parameter. Die Instabilität der Effizienzkurve stellt in der Praxis des Portfoliomanagements ein großes Problem dar. Um die Stabilität der Effizienzkurve zu verbessern, können Verfahren wie etwa die Sensitivitätsanalyse, simulierte effiziente Portfolios oder das Black/Litterman-Modell eingesetzt werden. Mit einer Kombination von einer aktiven und passiven Anlagestrategie lässt sich ein effizientes Portfolio konstruieren, das die Informationsineffizienzen auf den Kapitalmärkten ausnutzt. Ein solches Portfolio besitzt im Vergleich zu einem Marktindexportfolio (passive Strategie) eine höhere risikoadjustierteRendite bzw. Sharpe Ratio. Das Capital Asset Pricing Model (CAPM) ist das Kernstück der modernen Finanztheorie.Mit diesemModell lässt sich die erwartete Rendite als Entschädigung für dasMarktrisiko berechnen. Die erwartete Rendite besteht aus demrisikolosen Zinssatz und einer Risikoprämie, die sich aus dem Produkt der Marktrisikoprämie und dem Beta zusammensetzt.
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Notes
- 1.
Ein Portfolio, das sich aus traditionellen Anlagen zusammensetzt, besitzt drei Anlageklassen: Geld, Aktien und Anleihen. Vgl. Abschn. 1.5.2.4 über die strategische Asset Allokation.
- 2.
Vgl. Abschn. 2.4 über die erwartete Rendite und das Risiko eines Portfolios bestehend aus einer Vielzahl von risikobehafteten Anlagen.
- 3.
Vgl. Chan/Karceski/Lakonishok: „On Portfolio Optimization: Forecasting Covariances and Choosing the Risk Model“, S. 937 ff. Die zukünftigen Varianzen können mit historischen Varianzen gut geschätzt werden. Dies ist bei der Schätzung von zukünftigen Kovarianzen aufgrund von vergangenen Daten nicht der Fall.
- 4.
Vgl. Chan/Karceski/Lakonishok: „On Portfolio Optimization: Forecasting Covariances and Choosing the Risk Model“, S. 937 ff. Untersucht wurden monatliche Renditen von US‐Aktien während der Zeitperiode von 1973 bis 1997. Die Studie zeigt, dass die Korrelation zwischen vergangenen und zukünftigen Stichprobe‐Kovarianzen bei 0,34 über eine Zeitdauer von 36 Monaten liegt, während die Korrelation lediglich bei 0,18 über eine Zeitspanne von 12 Monaten ist.
- 5.
Vgl. für diesen Ansatz zur Verminderung des Schätzfehlers (Shrinkage Estimator) z. B. Michaud: „Efficient Asset Management“, S. 74 ff.
- 6.
- 7.
Multifaktormodelle werden in Kap. 4 beschrieben.
- 8.
Bei der Methode der kleinsten Quadrate werden die vertikalen Abstandsquadrate zwischen beobachteten Werten und den diesbezüglichen Werten auf der Regressionsgeraden, d. h. die Residuenabweichungen \(\left({\sum{\mathrm{\varepsilon}_{{\mathrm{i}}}^{{2}}}}\right)\), minimiert.
- 9.
Bei einem Overnight Index Swap handelt es sich um einen Swap, bei dem ein fixer Zinssatz (OIS Swap‐Satz) periodisch (z. B. monatlich, quartalsweise, jährlich) gegen einen geometrischen Durchschnitt von Tagesgeldzinssätzen (Overnight Rates) getauscht wird. Der OIS Swap‐Satz stellt im Vergleich zum LIBOR‐Satz eine bessere Approximation des risikolosen Zinssatzes dar. Beim TOIS werden die Zinssätze für ungesicherte Ausleihungen an erstklassige Kreditinstitute von 29 Referenzbanken an jedem Geschäftstag in Zürich der Cosmorex AG gemeldet, die dann den durchschnittlichen Tagesgeldzinssatz anhand des arithmetischen Mittels bestimmt.
- 10.
Für die Regressionsanalyse kann man auch stetige Renditen verwenden. Vgl. Abschn. 1.3.1 über die Varianz und Standardabweichung.
- 11.
Der „Fehler der Schätzung“ wäre null, wenn die Regressionsgerade genau durch die beobachteten Y‐Werte verlaufen würde.
- 12.
Die Quadratsumme der Regressionsabweichungen kann mit folgender Formel berechnet werden: \(\mathrm{SSR=\sum _{{t=1}}^{T}{(Y_{{t}}^{{\prime}}-\overline{Y})^{{2}}}}\).
- 13.
Totale Varianz von Novartis = ςNovartis 2 = βNovartis 2ςSMI 2 + ς ε, Novartis 2.
- 14.
Vgl. den Anhang C für die Bestimmung des kritischen t‐Wertes. Bei einem einseitigen Test entspricht der kritische t‐Wert von 2 einem Signifikanzniveau von 2,5 % (bei ungefähr 60 Freiheitsgraden). Bei einem zweiseitigen Test und einem Signfikanzniveau von 5 % beträgt der kritische t‐Wert ebenfalls 2.
- 15.
Um die Null‐Hypothese zu verwerfen, müssen sich die Regressionsparameter signifikant von null unterscheiden, die t‐Statistik muss möglichst groß und der P‐Wert muss möglichst klein sein.
- 16.
Vertrauensintervall für b = β ± tT − 2sβ.
- 17.
Die beiden Effizienzkurven basieren auf monatlichen Renditen von Anfang September 2007 bis Ende August 2012 (Optimierungsverfahren mit Long‐ und Short‐Positionen).
- 18.
Vgl. Abschn. 2.6 über den Diversifikationseffekt mit dem Markowitz‐Modell. Die ersten Arbeiten zum Marktmodell und entsprechenden Diversifikationseffekt wurden von William F. Sharpe publiziert. Vgl. Sharpe: „A Simplified Model for Portfolio Analysis“, S. 277 ff.
- 19.
Für die Herleitung der Varianz eines gleichgewichteten Portfolios vgl. Abschn. 2.6.
- 20.
- 21.
Ein gut diversifiziertes Portfolio verfügt über kein unternehmensspezifisches Risiko, sodass die Varianz der Residualrenditen null beträgt (ς 2 ε, i = 0). Das Risiko einer gut diversifizierten Anlagekombination ist demnach: \(\upsigma _{{\mathrm{P}}}=\sqrt{\upbeta _{{\mathrm{P}}}^{{2}}\upsigma _{{\mathrm{M}}}^{{2}}}=\upbeta _{{\mathrm{P}}}\upsigma _{{\mathrm{M}}}\).
- 22.
Vgl. Abschn. 2.10 über das Kapitalmarktlinienmodell.
- 23.
Vgl. z. B. Klemkosky/Martin: „The Adjustment of Beta Forecasts“, S. 1123 ff.
- 24.
Beratungsunternehmen wie etwa Barra verkaufen Fundamental Betas.
- 25.
- 26.
Für die Konstruktion der Effizienzkurve wurden die monatlichen Renditen in jährliche Renditen umgerechnet.
- 27.
Optimierungsverfahren mit Long‐ und Short‐Positionen.
- 28.
Vgl. Ziemba: „The Stochastic Programming Approach to Asset, Liability, and Wealth Management“, S. 12. Vgl. auch Abschn. 3.2.1 für den Schätzfehler bei der erwarteten Rendite mit historischen Daten.
- 29.
Portfolios mit einer bedeutenden Short‐Position sind für die meisten Investoren nicht umsetzbar, weil einerseits Restriktionen in der Anlagepolitik solche Positionen verbieten können und andererseits ein unlimitiertes Verlustpotenzial besteht, da keine Preisobergrenze existiert.
- 30.
Insbesondere wird der statistische Schätzfehler der erwarteten Rendite korrigiert. Die Parameter können mit einem auf dem Bayes’schen Theorem basierenden Ansatz angepasst werden. Vgl. hierzu das Black/Litterman‐Modell.
- 31.
Vgl. für dieses Verfahren Michaud: „Efficient Asset Management“, S. 42 ff. Zum Beispiel kann man eine Region von effizienten Portfolios definieren, die bei einem gegebenen Konfidenzniveau statistisch äquivalent sind. Fällt ein Portfolio in diese Region, ist es effizient und muss nicht umgeschichtet werden.
- 32.
Da es sich bei der Methode der simulierten effizienten Portfolios um einen Prozess der Durchschnittsbildung handelt (Resampled Efficient Portfolios), ist die daraus hervorgehende Effizienzkurve stabil. Kleine Änderungen der Parameter führen lediglich zu kleinen Änderungen der effizienten Portfolios.
- 33.
Vgl. Black/Litterman: „Global Portfolio Optimization“, S. 28 ff.
- 34.
Für das Treynor/Black‐Modell vgl. Treynor/Black: „How to Use Security Analysis to Improve Portfolio Selection“, S. 66 ff.
- 35.
Vgl. den Abschn. 2.3 über die erwartete Rendite und das Risiko eines Portfolios bestehend aus zwei risikobehafteten Anlagen.
- 36.
Die Steigung der effizientesten Kapitalallokationslinie ist gemäß Abb. 3.7 durch die Sharpe Ratio des optimalen Portfolios gegeben: SOP = [E(rOP) − rF]∕ςOP. Um das Maximierungsproblem zu lösen, ist als Zielfunktion die Sharpe Ratio abzuleiten, wobei die Nebenbedingung lautet, dass die Summe der Gewichte 1 ergibt. Leitet man die Sharpe Ratio nach der Gewichtung des aktiven Portfolios ab und setzt die Gleichung gleich null, erhält man den Formelausdruck (3.27) bzw. (3.28).
- 37.
Das Beta entspricht der Korrelation zwischen dem aktiven Portfolio und dem Marktportfolio multipliziert mit dem Quotienten aus der Standardabweichung des aktiven Portfolios und der Standardabweichung des Marktportfolios. Ein aktives Beta größer als 1 (βA > 1) bedeutet, dass die Korrelation größer ist als in Formel (3.29) angenommen (βA = 1), sodass der Diversifikationseffekt mit dem Marktportfolio geringer ausfällt, was einen höheren Anteil des aktiven Portfolios (w∗) zur Folge hat. Dieser Zusammenhang führt zu den Anpassungen in Formel (3.30).
- 38.
Der Nenner von 1,3394, der einen Skalierungsfaktor darstellt, lässt sich wie folgt berechnen: [(0,05∕0,552) + (−0,04∕0,252) + (0,08∕0,212)].
- 39.
Für die Annahmen des Marktmodells vgl. den Abschn. 3.2.2 über die Regressionsgleichung.
- 40.
Ist das Beta des aktiven Portfolios kleiner als 1 (βA < 1), so liegt ein höheres Maß an Diversifikationspotenzial zwischen aktivem Portfolio mit dem Marktportfolio vor, was zu einem niedrigeren Anteil der aktiven Anlagekombination führt. Ist das aktive Beta hingegen größer als 1 (βA > 1), so besteht ein geringerer Diversifikationsgewinn und der Anteil des aktiven Portfolios im Gesamtportfolio nimmt entsprechend zu.
- 41.
Für den Schätzfehler der Regressionsparameter a und b vgl. Abschn. 3.2.3.
- 42.
Die Zunahme der Sharpe Ratio lässt sich wie folgt berechnen: Quadriert man die Sharpe Ratio des optimalen Portfolios und des Marktportfolios von 0,5159 bzw. 0,50, so erhält man 0,2662 bzw. 0,25. Die Differenz der quadrierten Sharpe Ratios beträgt 0,0162 und spiegelt die quadrierte Information Ratio des aktiven Portfolios wider. Multipliziert man 0,0162 mit 40, ergibt sich eine quadrierte Information Ratio von 0,648. Die quadrierte Sharpe Ratio des optimalen Portfolios beträgt 0,898 (0,648 + 0,25). Die Wurzel von 0,898 führt zu einer Sharpe Ratio von 0,9476.
- 43.
Das Portfoliomodell von Markowitz aus dem Jahr 1952 hat den Grundstein zur modernen Portfoliotheorie gelegt. Rund 12 Jahre später wurde die Theorie durch die Arbeiten von William Sharpe, John Lintner und Jan Mossin zum Capital Asset Pricing Model (CAPM) weiterentwickelt. Vgl. Sharpe: „Capital Asset Prices: A Theory of Market Equilibrium Under Conditions of Risk“, S. 425 ff.; Lintner: „The Valuation of Risk Assets and the Selection of Risky Investments in Stock Portfolios and Capital Budgets“, S. 13 ff.; Mossin: „Equilibrium in a Capital Asset Market“, S. 768 ff.
- 44.
Vgl. Abschn. 1.4.2.1 über die Informationseffizienz der Märkte. Empirische Studien zeigen, dass entwickelte Länder eine halbstrenge Form der Informationseffizienz aufweisen (und nicht eine strenge Form).
- 45.
Vgl. Abschn. 3.5.6 über die Auflösung der Annahmen im CAPM.
- 46.
Die Bewegungen des risikolosen Zinssatzes während der Periode der Stichprobe fallen im Vergleich zu den Variationen der Marktrenditen sehr gering aus. Daher hat die Volatilität des risikolosen Zinssatzes nur einen geringen Einfluss auf den geschätzten Wert der Steigung (β).
- 47.
Das Beta lässt sich aus Stichproben mit historischen Daten berechnen. Dabei werden die Kovarianz bzw. Korrelation und die Standardabweichungen mithilfe der Formeln aus Kap. 2 ermittelt.
- 48.
Für das Marktmodell vgl. den Abschn. 3.2. Im CAPM wird für die Berechnung des Betas die Regression zwischen den Renditen und nicht mit den über dem risikolosen Zinssatz liegenden Renditen der Aktie und des Marktes durchgeführt.
- 49.
Für die Methode der kleinsten Quadrate vgl. den Abschn. 3.2.3 über das Beispiel zur Regressionsgleichung im Marktmodell.
- 50.
Die Regressionsgerade verläuft nach der Methode der kleinsten Quadrate durch das arithmetische Mittel der X‐Werte \(\mathrm{(\overline{X})}\) und das arithmetische Mittel der Y‐Werte \(\mathrm{(\overline{Y})}\). Der X‐Wert entspricht der unabhängigen Variable (rM), während der Y‐Wert die abhängige Variable (ri) reflektiert. Die Funktion der Regressionsgerade ist: Y′ = a + bX. Der Regressionskoeffizient b lässt sich wie folgt berechnen: \(\mathrm{b}=\mathrm{\dfrac{\sum{\left[(X-\overline{X})(Y-\overline{Y})\right]}}{\sum{(X-\overline{X})^{{2}}}}=\dfrac{Cov_{{X,Y}}}{\upsigma _{{X}}^{{2}}}}\).
- 51.
Das Beta besitzt wie jede andere statistisch geschätzte Größe auch einen statistischen Fehler. Die Abweichung des Betas vom wahren Wert kann über ein Konfidenzintervall angegeben werden. Vgl. hierzu den Abschn. 3.2.3 über das Beispiel zum Marktmodell.
- 52.
Der Determinationskoeffizient liegt bei 0,3789. Demnach werden durch die Veränderung des SMI rund 38 % der Renditestreuung der Novartis Aktien erklärt. Die Steigung der Regressionsgeraden weist eine t‐Statistik von 5,948 auf und ist daher statistisch signifikant. Vgl. hierzu den Abschn. 3.2.3.
- 53.
Das Hauptproblem beim historischen Beta ist, dass es eine vergangenheitsorientierte Risikogröße darstellt und nicht unbedingt einen guten Indikator für die Zukunft wiedergibt. Daher wird das Beta um die zukünftigen Risiken adjustiert. Vgl. Abschn. 3.2.5 über die Korrektur des Betas im Marktmodell.
- 54.
Dieser Nicht‐Trading‐Fehler ergibt sich, weil die Aktienrenditen null sind, wenn sie nicht gehandelt werden. Demgegenüber hat sich das Marktportfolio in dieser Zeit verändert, da Titel im Portfolio gekauft und verkauft wurden. Eine solche Datenreihe führt zu einem niedrigeren Korrelationskoeffizienten zwischen den Aktienrenditen und den Marktrenditen, was wiederum ein tieferes Beta zur Folge hat.
- 55.
w1rF + w2rF = rF(w1 + w2) = rF; weil w1 + w2 = 1.
- 56.
Die Kritik von Roll (Roll’s Critique) zeigt die Probleme, die beim Testen des CAPM entstehen, weil das Marktportfolio nicht beobachtet werden kann. Vgl. Roll: „A Critique of the Asset Pricing Theory’s Tests: Part I: On Past and Potential Testability of the Theory“, S. 129 ff.
- 57.
Das Marktportfolio umfasst alle handelbaren risikobehafteten Anlagen wie etwa Liegenschaften, Edelmetalle, Sammlungen von Briefmarken, Juwelen und andere werthaltige Anlagen.
- 58.
Der S&P 500 stellt einen guten Indikator für die Entwicklung des gesamten US‐Aktienmarktes dar, weil der Index rund 80 % der Börsenkapitalisierung von US‐Aktien wiedergibt.
- 59.
Vgl. z. B. Levy: „On the Short‐Term Stationarity of Beta Coefficients“, S. 55 ff.
- 60.
Vgl. hierzu den Abschn. 3.2.5 über die Korrektur des Betas im Marktmodell.
- 61.
Vgl. z. B. Baesel: „On the Assessment of Risk: Some Further Considerations“, S. 1491 ff.
- 62.
Vgl. Roenfeldt/Griepentrog/Pflamm: „Further Evidence on the Stationarity of Beta Coefficients“, S. 117 ff.
- 63.
Vgl. Carpenter/Upton: „Trading Volume and Beta Stability“, S. 60 ff.
- 64.
Vgl. z. B. Sharpe/Cooper: „Risk‐Return Classes of New York Stock Exchange Common Stocks: 1931–1967“, S. 46 ff.
- 65.
Vgl. Fama/MacBeth: „Risk, Return and Equilibrium: Empirical Tests“, S. 453 ff.
- 66.
Vgl. McEnally: „A Note on the Return Behavior of High Risk Common Stocks“, S. 199 ff.
- 67.
Vgl. den Abschn. 1.4.2.1 zur Informationseffizienz der Märkte.
- 68.
Vgl. Bhandari: „Debt/Equity Ratio and Expected Common Stock Returns: Empirical Evidence“, S. 507 ff.
- 69.
Vgl. Fama/French: „The Cross Section of Expected Stock Returns“, S. 427 ff.
- 70.
Vgl. Dennis/Perfect/Snow/Wiles: „The Effects of Rebalancing on Size and Book‐to‐Market Ratio Portfolio Returns“, S. 47 ff. Diese Studie zeigt, dass die erwartete Aktienrendite von der Größe des Unternehmens (Small Size Effect) und vom Buchwert‐Marktwert‐Verhältnis abhängt. Dieser Zusammenhang ist nach wie vor vorhanden, wenn Transaktionskosten von 1 % und eine jährliche Umschichtung der Aktienportfolios berücksichtigt werden.
- 71.
Vgl. z. B. Kothari/Shanken/Sloan: „Another Look at the Cross Section of Expected Stock Returns“, S. 185 ff. Im Gegensatz zu Fama und French verwenden die Autoren dieser Studie jährliche und nicht monatliche Renditen, um das Handelsproblem zu umgehen. Sie finden einen statistisch signifikanten Zusammenhang zwischen erwarteter Rendite und Beta. Der statistisch signifikante Zusammenhang zwischen erwarteter Rendite und Buchwert‐Marktwert‐Verhältnis hingegen kann über eine längere als zwischen 1963 und 1990 liegende Zeitperiode nicht bestätigt werden.
- 72.
Vgl. den Abschn. 4.5 über die Arbitragepreis‐Theorie (APT).
- 73.
Vgl. z. B. Malkiel: „Returns from Investing in Equity Mutual Funds 1971 to 1991“, S. 549 ff.
- 74.
- 75.
Vgl. Black: „Capital Market Equilibrium with Restricted Borrowing“, S. 444.
- 76.
Vgl. den Abschn. 3.5.5 über die empirische Relevanz des CAPM.
- 77.
Vgl. Gibbons: „Multivariate Tests of Financial Models: A New Approach“, S. 3 ff. und Shanken: „Multivariate Tests of the Zero Beta CAPM“, S. 327 ff.
- 78.
Vgl. Stambaugh: „On the Exclusion of Assets from Tests of the Two‐Parameter Model: A Sensitivity Analysis“, S. 237 ff.
- 79.
Vgl. Treynor: „How to Rate Management of Investment Funds“, S. 63 ff.
- 80.
Rendite‐Risiko‐Gleichung des CAPM: E(rP) = rF + [E(rM) − rF] βP. Subtrahiert man von dieser Gleichung den risikolosen Zinssatz (rF) und dividiert die Gleichung durch das Beta des Portfolios (βP), erhält man Formel (3.57).
- 81.
Vgl. Jensen: „The Performance of Mutual Funds in the Period 1945–1964“, S. 397.
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Mondello, E. (2013). Einfaktormodelle. In: Portfoliomanagement. Springer Gabler, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-658-02174-0_3
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