Stereometrie

Chapter

Zusammenfassung

Das Wort Stereometrie kommt aus dem Griechischen und bedeutet Körpermessung. Man beschäftigt sich in dieser Teildisziplin der Geometrie mit Form, gegenseitiger Lage, Größe und anderen Beziehungen geometrischer Objekte im Raum.

Das Wort Stereometrie kommt aus dem Griechischen und bedeutet Körpermessung. Man beschäftigt sich in dieser Teildisziplin der Geometrie mit Form, gegenseitiger Lage, Größe und anderen Beziehungen geometrischer Objekte im Raum.

4.1 Prismen

4.1.1 Allgemeine Prismen

Gleitet eine Gerade, ohne ihre Richtung zu ändern, im Raum an den Begrenzungslinien eines ebenen \(n\)-Ecks (\(n\,{=}\,3,4,\ldots \)) entlang, so beschreibt sie eine prismatische Fläche. Schneiden zwei parallele Ebenen die prismatische Fläche, dann schließen sie zusammen mit dem zwischen ihnen liegenden Abschnitt der prismatischen Fläche einen Teil des Raums vollständig ein. Ein solcher Körper heißt Prisma (griech., das Gesägte) oder genauer \(n\)-seitiges Prisma (Abb. 4.1).

Die Schnitte der Ebenen mit der prismatischen Fläche sind kongruente \(n\)-Ecke. Diese \(n\)-Ecke heißen Grundfläche und Deckfläche des Prismas. Die Seitenflächen des Prismas heißen Mantelflächen. Die Kanten der Seitenflächen heißen Mantellinien. Die Mantelflächen sind Parallelogramme.

Bei einem Prisma sind alle Schnitte parallel zu Grund- und Deckfläche kongruent zu diesen Flächen. Ein Prisma ist also ein Körper mit einem gleichbleibenden Querschnitt.

Gleitet die Gerade senkrecht zur Ebene der Grundfläche, dann heißt das Prisma gerade. Bei einem geraden Prisma stehen die Mantellinien senkrecht auf der Grund- und Deckfläche, und die Mantelflächen sind Rechtecke. Ein nicht gerades Prisma nennt man auch schiefes Prisma.

Ein physikalisches Prisma ist mathematisch ein gerades dreiseitiges Prisma.
Abb. 4.1

Prisma

Abb. 4.2

Parallelepiped

Abb. 4.3

Quader

Das Volumen \(V\) eines Prismas ist der Inhalt \(A_G\) der Grundfläche multipliziert mit der Höhe \(h\).

Volumen Prisma Open image in new window

Die Oberfläche \(A_O\) eines Prismas ist die Summe der Mantelfläche \(A_M\) und der doppelten Grundfläche \(A_G\) (denn Grund- und Deckfläche sind kongruent, und damit ist ihr Flächeninhalt gleich).

Oberfläche Prisma Open image in new window

4.1.2 Parallelepiped und Würfel

Ein Prisma mit einem Parallelogramm als Grundfläche heißt Parallelepiped oder Parallelflach oder Spat (Abb. 4.2). Ein gerades Prisma mit einem Rechteck als Grundfläche heißt Quader (Abb. 4.3).

Sind \(a\) und \(b\) die Seitenlängen des Rechtecks und \(c\) die Höhe des Quaders, so gilt:

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Ein Quader mit einem Quadrat als Grundfläche heißt quadratische Säule (Abb. 4.4).
Abb. 4.4

Quadratische Säule

Ist \(a\) die Seitenlänge des Quadrats und \(h\) die Höhe der quadratischen Säule, dann gilt:

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Ein Quader mit lauter gleich langen Kanten heißt Würfel (Abb. 4.5).
Abb. 4.5

Würfel

Ist \(a\) die Kantenlänge des Würfels, so gilt:

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Der Würfel ist einer der platonischen Körper (siehe Abschn. 4.7). Er wird von sechs Quadraten begrenzt.
Abb. 4.6

Zylinder

4.2 Zylinder

4.2.1 Allgemeine Zylinder

Wird eine Gerade (Erzeugende) im Raum längs einer ebenen geschlossenen Kurve (Leitkurve) parallel verschoben (also ohne ihre Richtung zu verändern), so entsteht eine Zylinderfläche. Ein Zylinder ist ein Körper, der von einer Zylinderfläche und zwei parallelen ebenen Flächenstücken begrenzt wird. Die ebenen Begrenzungsflächenstücke müssen nicht senkrecht auf der erzeugenden Gerade stehen (Abb. 4.6).

Ein Zylinder ist ein Körper mit gleichbleibendem Querschnitt.

Der Teil der Zylinderfläche zwischen den parallelen Begrenzungsflächenstücken heißt Mantelfläche des Zylinders, die parallelen Flächenstücke sind Grund- und Deckfläche des Zylinders. Grundfläche und Deckfläche sind zueinander kongruent. Die zwischen den Flächenstücken liegenden Strecken der Erzeugenden heißen Mantellinien, sie sind alle parallel und gleich lang. Der senkrechte Abstand zwischen Grund- und Deckfläche ist die Höhe des Zylinders.

Prismen sind spezielle Zylinder, nämlich solche mit \(n\)-Ecken als Grundfläche.

Ein Zylinder heißt gerade, wenn die Mantellinien senkrecht auf Grund- und Deckfläche stehen. Ein nicht gerader Zylinder heißt schiefer Zylinder.

Ein Zylinder mit einer Kreisfläche als Grundfläche heißt Kreiszylinder.

Das Volumen \(V\) eines Zylinders ist der Inhalt \(A_G\) der Grundfläche multipliziert mit der Höhe \(h\). Die Oberfläche \(A_O\) eines Zylinders ist die Summe der Mantelfläche \(A_M\) und der doppelten Grundfläche \(A_G\).

4.2.2 Gerade Kreiszylinder

Ein Zylinder mit senkrecht auf Grund- und Deckfläche stehenden Mantellinien und mit einer Kreisfläche als Grundfläche heißt gerader Kreiszylinder oder Walze (Abb. 4.7).

Die Mantelfläche eines geraden Kreiszylinders kann in ein Rechteck mit den Seitenlängen \(h\) und \(2\pi r\) (Kreisumfang) abgewickelt werden, wobei \(h\) die Höhe des geraden Kreiszylinders ist und \(r\) der Radius des Kreises. Dies kann man sich dadurch veranschaulichen, dass man eine Dose ohne Deckel und Boden längs einer Mantellinie aufschneidet und in eine Ebene abwickelt.
Abb. 4.7

Gerader Kreiszylinder

Der Kreis als Grund- und Deckfläche (Grund- und Deckfläche sind kongruent) hat den Flächeninhalt \(\pi r^2\).

Somit gilt für die Oberfläche insgesamt \(\;A_O=2\pi r^2+2\pi rh=2\pi r(r+h)\).

4.2.3 Hohlzylinder

Ein Hohlzylinder ist ein gerader Kreiszylinder (Kreis mit Radius \(R\)), aus dem ein kleinerer gerader Kreiszylinder (konzentrischer Kreis mit Radius \(r,\;r\,{<}\,R\)) ausgeschnitten ist (Abb. 4.8).
Abb. 4.8

Hohlzylinder

Die Grundflächen der beiden Zylinder sind also konzentrische Kreise, das heißt, sie haben den gleichen Mittelpunkt.

Das Volumen des Hohlzylinders ist die Differenz der Volumina der beiden geraden Kreiszylinder. Die Oberfläche setzt sich aus der äußeren Mantelfläche \(A_{M_a}=2\pi Rh\) (\(h\) ist die Höhe des Hohlzylinders), aus der inneren Mantelfläche \(A_{M_i}=2\pi rh\), aus der Grundfläche und aus der Deckfläche zusammen. Grundfläche \(A_G\) und Deckfläche \(A_D\) sind gleich, sie ergeben sich aus der Differenz zweier Kreisflächen: \(\,A_G=A_D=\pi (R^2-r^2)\).

Für das Volumen und die Oberfläche des Hohlzylinders gilt somit

4.3 Pyramiden

4.3.1 Allgemeine Pyramiden

Gleitet ein von einem festen Punkt \(S\) des Raums ausgehender Strahl an den Begrenzungslinien eines ebenen \(n\)-Ecks (\(n\,{=}\,3,4,\ldots \)) entlang, in dessen Ebene der Anfangspunkt \(S\) des Strahls nicht liegt, so beschreibt der gleitende Strahl eine Pyramidenfläche. Das \(n\)-Eck schließt zusammen mit dem zwischen ihm und dem Punkt \(S\) liegenden Abschnitt der Pyramidenfläche einen Teil des Raums vollständig ein. Ein solcher Körper heißt Pyramide (Abb. 4.9) .
Abb. 4.9

Pyramide

Das \(n\)-Eck heißt Grundfläche, der Punkt \(S\) Spitze, der zum Körper gehörende Teil der Pyramidenfläche ist die Mantelfläche der Pyramide. Die Kanten der Grundfläche heißen Grundkanten, die Kanten der Mantelfläche Seitenkanten, und die ebenen Flächen der Mantelfläche sind die Seitenflächen.

Alle Seitenflächen einer Pyramide sind Dreiecke. Es gibt bei einem \(n\)-Eck als Grundfläche genau \(n\) Dreiecke als Seitenflächen. Deshalb nennt man solch eine Pyramide auch genauer \(n\)-seitige Pyramide.

Ist das \(n\)-Eck ein reguläres \(n\)-Eck, dann heißt die Pyramide reguläre (\(n\)-seitige) Pyramide.

Der Abstand der Spitze \(S\) von der Ebene der Grundfläche ist die Höhe der Pyramide. Man erhält die Höhe, indem man von \(S\) das Lot auf die Ebene der Grundfläche fällt. Das Lot durchstößt die Ebene der Grundfläche im Höhenfußpunkt \(H\). Dieser kann auch außerhalb der Grundfläche liegen, dann liegt die Höhe außerhalb der Pyramide.

Fällt der Höhenfußpunkt mit dem Mittelpunkt der Grundfläche zusammen, so heißt die Pyramide gerade. Alle anderen Pyramidenformen nennt man schief. Die Höhe einer geraden Pyramide ist gleichzeitig ihre Achse.

Die Seitenflächen von regulären geraden Pyramiden sind kongruente gleichschenklige Dreiecke.

Für das Volumen \(V\) und die Oberfläche \(A_O\) einer beliebigen Pyramide gilt \(A_G\) ist der Flächeninhalt des \(n\)-Ecks, \(A_M\) der Inhalt der Mantelfläche, also die Summe der Flächeninhalte der Seitendreiecke, und \(h\) ist die Höhe der Pyramide.

Eine gerade reguläre dreiseitige Pyramide, bei der die Seitendreiecke kongruent zum Grunddreieck sind, heißt Tetraeder. Ein Tetraeder wird also von vier gleichseitigen Dreiecken begrenzt. Das Tetraeder ist einer der platonischen Körper (siehe Abschn. 4.7).

4.3.2 Gerade quadratische Pyramiden

Eine gerade quadratische Pyramide hat ein Quadrat als Grundfläche, und die Spitze der Pyramide steht senkrecht über dem Mittelpunkt des Quadrats, dem Diagonalenschnittpunkt. Die Mantelfläche besteht aus vier kongruenten gleichschenkligen Dreiecken (Abb. 4.10).
Abb. 4.10

Gerade quadratische Pyramide

Ist \(a\) die Kantenlänge des Quadrats der Grundfläche, \(h\) die Höhe der Pyramide und \(s\) die Kantenlänge der Seitenkanten, so folgt aus dem Satz des Pythagoras \(s^2=h^2+\frac{1}{2}\,a^2.\)

Bezeichnet man mit \(h_s\) die Höhe des gleichschenkligen Seitenflächendreiecks \(\Delta _s\), dann folgt ebenfalls mit dem Satz von Pythagoras \(s^2=h_s^2+\frac{1}{4}\,a^2,\) denn die Basis dieses Dreiecks hat die Länge \(a\). Löst man nach \(h_s\) auf und ersetzt \(s^2\) durch \(h^2+\frac{1}{2}\,a^2\), so ergibt sich \(h_s=\sqrt{h^2+\frac{1}{4}\,a^2}.\) Daraus berechnet man den Flächeninhalt  \(A_{\Delta _s}\) von \(\Delta _s\) zu \(A_{\Delta _s}=\frac{1}{2}\,a\cdot \,h_s=\frac{1}{2}\,a\sqrt{h^2+\frac{1}{4}\,a^2}\) und den Inhalt der Mantelfläche zu \(A_M=4\,A_{\Delta _s}=2a\,\sqrt{h^2+\frac{1}{4}\,a^2}\).

Für Volumen und Oberfläche einer geraden quadratischen Pyramide gilt somitDie Grabstätten altägyptischer Pharaonen waren während des Alten und des Mittleren Reichs häufig gerade quadratische Pyramiden. Besonders beeindruckend sind die Pyramiden der Pharaonen Cheops, Chephren und Mykerinos in Gizeh am südlichen Rand von Kairo. Sie stammen aus dem Alten Reich und wurden in der Zeit zwischen 2600 und 2480 v. u. Z. erbaut, sie sind also rund 4500 Jahre alt. Die größte Pyramide ist die Cheopspyramide: Das Quadrat der Grundfläche hat eine Kantenlänge von 227,5 m (ursprünglich 230,38 m), und die Höhe ist 137 m (ursprünglich 146,6 m). Nimmt man die ursprünglichen Werte, so berechnet man für das Volumen:

\(V=\frac{1}{3}\,(230,38)^2\cdot 146,6=2\,593\,595,61\ldots \),

also mehr als \(2,5\) Millionen Kubikmeter! Für die Oberfläche ergibt sich:

\(A_O=2\cdot 230,38\cdot \sqrt{(146,6)^2+\frac{1}{4}\,(230,38)^2}+(230,38)^2= 138\,979,56\ldots \,\text {m}^2\).

Der Bau der Pyramiden war eine großartige ingenieurtechnische und logistische Leistung der Altägypter!

4.4 Kegel

4.4.1 Allgemeine Kegel

Wird eine Gerade (Erzeugende) im Raum längs einer ebenen geschlossenen Kurve (Leitkurve) so bewegt, dass sie durch einen festen Punkt, die Spitze \(S\), geht, so entsteht eine Kegelfläche.
Abb. 4.11

Kegel

Ein Kegel ist ein Körper, der von einer Kegelfläche und einem nicht durch deren Spitze gehenden ebenen Flächenstück begrenzt wird (Abb. 4.11).

Der Teil der Kegelfläche zwischen dem ebenen Flächenstück und der Spitze heißt Mantelfläche, das ebene Flächenstück Grundfläche des Kegels. Die zwischen Grundfläche und Spitze liegenden Strecken der Erzeugenden heißen Mantellinien. Der senkrechte Abstand der Spitze zur Ebene der Grundfläche ist die Höhe des Kegels.

Pyramiden sind spezielle Kegel, nämlich Kegel mit \(n\)-Ecken als Grundfläche.

Hat die Grundfläche einen Mittelpunkt (wie Kreis oder Ellipse), und liegt die Spitze senkrecht über diesem Mittelpunkt, so heißt der Kegel gerade, andernfalls schief.

Ein Kegel mit einer Kreisfläche als Grundfläche heißt Kreiskegel.

Das Volumen \(V\) eines Kegels ist ein Drittel des Inhalts \(A_G\) der Grundfläche multipliziert mit der Höhe \(h\). Die Oberfläche \(A_O\) eines Kegels ist die Summe der Mantelfläche \(A_M\) und der Grundfläche \(A_G\).

4.4.2 Gerade Kreiskegel

Ein Kegel mit einer Kreisfläche als Grundfläche und der Spitze \(S\) senkrecht über dem Kreismittelpunkt heißt gerader Kreiskegel (Abb. 4.12).
Abb. 4.12

Gerader Kreiskegel

Alle Mantellinien eines geraden Kreiskegels sind gleich lang. Ihre Länge ist \(s=\sqrt{r^2+h^2}\), wobei \(r\) der Radius des Kreises und \(h\) die Höhe des geraden Kreiskegels sind.

Die Mantelfläche kann in die Ebene abgewickelt werden. Dabei entsteht ein Kreissektor mit dem Radius \(s\) (Länge der Mantellinien) und der Kreisbogenlänge \(2\pi r\) (Umfang des Kreises der Grundfläche). Der Flächeninhalt \(A_M\) dieses Kreissektors (=Mantelfläche) verhält sich zur gesamten Kreisfläche \(\pi s^2\) wie die Kreisbogenlänge \(2\pi r\) zum Gesamtkreisumfang \(2\pi s\), woraus sich für die Mantelfläche \(\,A_M=\pi rs\,\) ergibt. Der Kreis der Grundfläche, der Grundkreis, hat den Flächeninhalt \(\pi r^2\).

Daraus folgt für die Oberfläche \(\;A_O=\pi rs+\pi r^2=\pi r(r+s)=\pi r(r+\sqrt{r^2+h^2}).\)

Somit gilt für den geraden Kreiskegel

4.5 Cavalierisches Prinzip

Wesentlich zur Berechnung des Volumens von Prismen, Zylindern, Pyramiden und Kegeln ist das cavalierische Prinzip (nach dem italienischen Mathematiker Bonaventura Cavalieri, 1591/1598–1647, ein Schüler Galileis):

Körper mit inhaltsgleichem Querschnitt in gleichen Höhen haben gleiches Volumen.

Speziell gilt also:   Prismen und Zylinder sowie Pyramiden und Kegel mit gleicher Grundfläche und gleicher Höhe haben jeweils gleiches Volumen.

4.6 Pyramidenstümpfe und Kegelstümpfe

4.6.1 Pyramidenstümpfe

Schneidet man von einer Pyramide durch einen Schnitt parallel zur Grundfläche den oberen Teil ab, so ist der Restkörper ein Pyramidenstumpf. Der abgeschnittene Teil heißt Ergänzungspyramide, sie ist zur ganzen Pyramide ähnlich (Abb. 4.13).
Abb. 4.13

Pyramidenstumpf

Die Schnittfläche heißt Deckfläche des Pyramidenstumpfes. Der Abstand von Grundfläche und Deckfläche ist die Höhe des Pyramidenstumpfes.

Grundfläche und Deckfläche sind zueinander ähnlich. Die Seitenflächen eines Pyramidenstumpfes sind Trapeze.

Ist \(A_2\) der Flächeninhalt der Grundfläche, \(A_1\) der Flächeninhalt der Deckfläche und \(h\) die Höhe, so gilt für das Volumen \(V\) des Pyramidenstumpfes

Volumen Pyramidenstumpf Open image in new window

Herleitung:

Ist \(h_2\) die Höhe der Pyramide und \(h_1\) die Höhe der Ergänzungspyramide, dann gilt für das Volumen \(V\) des Pyramidenstumpfes \(\;V=\frac{1}{3}\,(A_2h_2-A_1h_1)\).

Wegen \(\;h=h_2-h_1\;\) folgt \(\;V=\frac{1}{3}\,[A_2(h+h_1)-A_1h_1].\;\)

Die Inhalte paralleler Schnittflächen verhalten sich wie die Quadrate ihrer Abstände von der Spitze: \(\;A_2:A_1=h_2^2:h_1^2.\;\) Daraus folgt \(\;\sqrt{A_2}:\sqrt{A_1}=(h+h_1):h_1\;\) und nach \(h_1\) aufgelöst \(\;{\displaystyle h_1=\frac{h\sqrt{A_1}}{\sqrt{A_2}-\sqrt{A_1}}}.\;\) Einsetzen in die Volumengleichung ergibt:Bei den letzten beiden Umformungen wurde mit \(\,\sqrt{A_2}+\sqrt{A_1}\,\) erweitert beziehungsweise Polynomdivision durchgeführt.

4.6.2 Kegelstümpfe

Eine Ebene, die einen Kegel parallel zur Grundfläche schneidet, zerlegt den Kegel in einen kleineren Kegel, den Ergänzungskegel, und in einen Kegelstumpf. Die zur Grundfläche parallele Fläche der Oberfläche eines Kegelstumpfes ist seine Deckfläche. Der Abstand von Grundfläche und Deckfläche ist die Höhe des Kegelstumpfes (Abb. 4.14).

Grundfläche und Deckfläche sind zueinander ähnlich.
Abb. 4.14

Kreiskegelstumpf

Ist für einen Kreiskegelstump \(r_2\) der Radius des Kreises der Grundfläche und \(r_1\) der Radius des Kreises der Deckfläche sowie \(h\) die Höhe, dann gilt für das Volumen \(V\) des Kreiskegelstumpfes

Volumen Kreiskegelstumpf Open image in new window

Herleitung:

Ist \(h_2\) die Höhe des Kreiskegels und \(h_1\) die Höhe des Ergänzungskegels, dann gilt für das Volumen \(V\) des Kreiskegelstumpfes \(\;V=\frac{1}{3}\,\pi (r_2^2h_2-r_1^2h_1)\).

Wegen \(\;h=h_2-h_1\;\) und \(\;r_2:r_1=h_2:h_1\;\) folgt durch korrespondierende Subtraktion \(\;(r_2-r_1):r_1=h:h_1\;\) und nach \(h_1\) aufgelöst \(\;{\displaystyle h_1=\frac{hr_1}{r_2-r_1}}.\;\) Einsetzen in die Volumengleichung ergibt:Bei der letzten Umformung wurde Polynomdivision durchgeführt.

Sind \(s_2\) und \(s_1\) die Längen der Mantellinien eines geraden Kreiskegels und seines Ergänzungskegels, dann gilt für den Kreiskegelstumpf\(s=s_2-s_1=\sqrt{(r_2-r_1)^2+h^2}\).

Ist \(A_2\) der Flächeninhalt der Grundfläche, \(A_1\) der Flächeninhalt der Deckfläche und \(A_M\) der Flächeninhalt der Mantelfläche, so folgt für die Oberfläche \(A_O\) eines geraden Kreiskegelstumpfes:

\(A_O=A_2+A_1+A_M=\pi r_2^2+\pi r_1^2+\pi s(r_2+r_1) = \pi r_2(r_2+s)+\pi r_1(r_1+s)\)

Oberfläche gerader Kreiskegelstumpf Open image in new window

Herleitung der Formel für die Mantelfläche \(A_M\):

Es gilt \(\;s_2:s_1=r_2:r_1\;\) und \(\;s=s_2-s_1,\;\) woraus durch korrespondierende Subtraktion \(\;s:s_1=(r_2-r_1):r_1\;\) folgt und nach \(s_1\) aufgelöst \(\;{\displaystyle s_1=\frac{r_1s}{r_2-r_1}}.\;\) Damit ergibt sich:

4.7 Platonische Körper

Ein Körper, der von lauter Ebenen begrenzt wird, heißt Polyeder.

Die Begrenzungsebenen sind die Flächen des Polyeders. Schnittlinien von Flächen heißen Kanten des Polyeders. Die Kanten schneiden sich in den Ecken des Polyeders.

Polyeder sind die dreidimensionale Verallgemeinerung von Polygonen: Ein Polygon wird von lauter Geraden begrenzt.

Ein Polyeder heißt konvex, wenn mit zwei Punkten die gesamte Verbindungsstrecke der Punkte zum Polyeder gehört. Beispiele für konvexe Polyeder sind Prismen und Pyramiden, deren Grundfläche konvex ist.

Für konvexe Polyeder gilt der eulersche Polyedersatz, wobei \(e\) die Anzahl der Ecken, \(k\) die Anzahl der Kanten und \(f\) die Anzahl der Flächen des konvexen Polyeders sind.

Eulerscher Polyedersatz                    Open image in new window

Konvexe Polyeder, bei denen in jeder Ecke gleich viele Flächen zusammenstoßen und alle Flächen kongruente reguläre \(n\)-Ecke sind, heißen platonische Körper (nach dem griechischen Philosophen Platon, 427–347 v. u. Z.) oder konvexe reguläre Polyeder.

Es gibt insgesamt genau fünf verschiedene Arten platonischer Körper: Tetraeder, Würfel (anderer Name: Hexaeder), Oktaeder, Dodekaeder und Ikosaeder (Abb. 4.15a–e).

In der Tabelle sind die wichtigsten Eigenschaften der platonischen Körper zusammengestellt (mit Kantenlänge \(a\)).
Abb. 4.15

a Tetraeder; b Würfel (Hexaeder); c Oktaeder; d Dodekaeder; e Ikosaeder

Die Namen stammen aus dem Griechischen und geben die Anzahl der Flächen der Körper an. Das Tetraeder (,,Vierflächner”) hat vier gleichseitige Dreiecke als Begrenzungsflächen, der Würfel oder das Hexaeder (,,Sechsflächner“) wird von sechs Quadraten begrenzt, das Oktaeder (,,Achtflächner“) von acht gleichseitigen Dreiecken, das Dodekaeder (,,Zwölfflächner“) von zwölf regulären Fünfecken und das Ikosaeder (,,Zwanzigflächner“) von zwanzig gleichseitigen Dreiecken. Weitere konvexe reguläre Polyeder gibt es nicht.

4.8 Kugeln

4.8.1 Definitionen

Eine Kugel ist der geometrische Ort aller Punkte des Raumes, die von einem festen Punkt \(M\) einen konstanten Abstand \(r\) haben.

Der Punkt \(M\) ist der Mittelpunkt und \(r\) der Radius der Kugel.

Zur Unterscheidung von dem durch eine Kugel abgegrenzten Raum nennt man die Kugel selbst auch Kugelfläche.

Für das Volumen \(V\) und die Oberfläche \(A_O\) einer Kugel mit dem Radius \(r\) und dem Durchmesser \(d\) giltEine Kugel mit dem Radius \(r=1\) heißt Einheitskugel.

Eine Kugel ist festgelegt durch den Mittelpunkt und einen weiteren Punkt oder durch vier Punkte (die nicht alle in einer Ebene liegen).

Kugeln mit gleichem Mittelpunkt heißen konzentrisch Kugeln.

Jede die Kugel schneidende Ebene schneidet sie in einem Kreis.

Geraden haben mit einer Kugelfläche entweder zwei Punkte, einen Punkt oder keinen Punkt gemeinsam.

Eine Sekante\(s\) schneidet die Kugelfläche in zwei Punkten. Der zwischen den Punkten gelegene Teil der Sekante heißt Sehne. Eine Sehne durch den Mittelpunkt heißt Durchmesser der Kugel. Durchmesser sind die größten Sehnen der Kugel, für ihre Länge \(d\) gilt \(d=2r\).

Eine Tangente\(t\) berührt die Kugel in einem Punkt. Im Berührungspunkt sind beliebig viele Tangenten möglich; alle Tangenten zusammen spannen die Tangentialebene auf.

Eine Passante\(p\) hat mit der Kugel keinen Punkt gemeinsam (Abb. 4.16).

4.8.2 Kugelsegmente

Ein Kugelsegment oder Kugelabschnitt ist ein durch eine Ebene abgeschnittener Teil einer Kugel. Die Mantelfläche des Kugelsegments heißt Kugelkappe (Abb. 4.17).
Abb. 4.16

Bezeichnungen an der Kugel

Abb. 4.17

Kugelsegment

Ist \(r\) der Radius der Kugel, \(\rho \) der Radius des von der Ebene ausgeschnittenen Kreises und \(h\) die Höhe des Kugelsegments, dann gilt:

4.8.3 Kugelsektoren

Einem Kugelsegment (Kugelabschnitt) ist ein Kegel zugeordnet, dessen Grundfläche der Schnittkreis des Kugelsegments und dessen Spitze der Kugelmittelpunkt ist. Der Gesamtkörper aus Kugelsegment und zugeordnetem Kegel heißt Kugelsektor oder Kugelausschnitt (Abb. 4.18).
Abb. 4.18

Kugelsektor

Das Volumen \(V\) des Kugelsektors setzt sich aus dem Volumen des Kugelabschnitts und dem des zugeordneten Kegels zusammen: \( V=\pi \frac{h^2}{3}\,(3r-h)+\pi \frac{\rho ^2}{3}\,(r-h) \).

Dabei ist \(r\) der Radius der Kugel, \(\rho \) der Radius des Schnittkreises und \(h\) die Höhe des Kugelsegments. Durch Einsetzen von \(\;\rho ^2=h(2r-h)\;\) erhält man \(\;V=\frac{2}{3}\,\pi r^2h.\;\)

Die Oberfläche \(A_O\) des Kugelsektors ist die Summe der Flächeninhalte von Kugelkappe und Kegelmantel: \( A_O=2\pi rh+\pi \rho r=\pi r(2h+\rho ) \).

4.8.4 Kugelschichten

Eine Kugelschicht ist der durch zwei zueinander parallelen Ebenen ausgeschnittene Teil einer Kugel. Die durch die beiden Ebenen ausgeschnittene Kugeloberfläche, also die Mantelfläche der Kugelschicht, heißt Kugelzone (Abb. 4.19).

Ist \(r\) der Radius der Kugel, \(\rho _1\) und \(\rho _2\) die Radien der von den parallelen Ebenen ausgeschnittenen Kreise und \(h\) die Dicke der Kugelschicht, dann gilt
Abb. 4.19

Kugelschicht

Copyright information

© Springer Fachmedien Wiesbaden 2014

Authors and Affiliations

  1. 1.Institut Computational MathematicsTechnische Universität BraunschweigBraunschweigDeutschland

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