Die ganzen Zahlen

Zusammenfassung

Die im ersten Kapitel entwickelten Strukturen der Addition und Multiplikation natürlicher Zahlen werden im zweiten Kapitel abstrahiert und führen zur Definition von Halbgruppen und Monoiden. Diese Begriffe stehen am Anfang einer Systematisierung des Aufbaus der Zahlbereiche durch die Algebra, die wir im zweiten und dritten Kapitel im Rahmen des Notwendigen entwickeln. Im zweiten Kapitel konzentrieren sich unsere Ausführungen vor allem auf einen elementaren Aufbau der Gruppentheorie: Es werden Gruppen, Untergruppen, Normalteiler, Gruppenhomomorphismen, Nebenklassen und Faktorgruppen eingeführt. Am Ende dieser theoretischen Überlegungen steht die Erkenntnis, dass kommutative, reguläre Halbgruppen im Wesentlichen eindeutig zu Gruppen erweitert werden können. Dies liefert insbesondere die mathematisch fundierte Erweiterung der additiven Halbgruppe (ℕ+) der natürlichen Zahlen zur additiven Gruppe (ℤ,+) der ganzen Zahlen.