Hilfsmittel aus Analysis, Kombinatorik und Stochastik

Chapter

Zusammenfassung

An verschiedenen Stellen benötigen wir einen hinreichend reichhaltigen Wahrscheinlichkeitsraum \( (\Omega, \mathcal{A}, P) \), auf dem eine Folge X 1, X 2, ... stochastisch unabhängiger ℝ d -wertiger Zufallsvektoren mit vorgegebenen Verteilungen definiert ist. Nach allgemeinen Sätzen der Maßtheorie kann hierfür der Grundraum
$$ \Omega := (\mathbb{R}^{d})^\mathbb{N} := \{ \omega := (\omega_{j})_{j \geq 1} : \omega_{j} \in \mathbb{R}^{d} \text{ für } j \geq 1 \} $$
sowie für X j die j-te Koordinatenabbildung \( X_{j}(\omega) := \omega_{j}, \omega \in \Omega \), gewählt werden. Die σ-Algebra \( \mathcal{A} \) über Ω ist die kleinste σ-Algebra über Ω, bezüglich welcher jede der Abbildungen \( X_{j} : \Omega \rightarrow \mathbb{R}^{d} (\mathcal{A}, \mathcal{B}^{d}) \text{-messbar } \) ist. Dabei bezeichnet \( \mathcal{B}^{d} \) die vom System der offenen Mengen erzeugte σ-Algebra der Borelmengen des ℝ d . Die σ-Algebra \( \mathcal{A} \) enthält also insbesondere für jedes j ≥ 1 die Urbilder \( X_{j}^{-1}(B) = \{ \omega \in \Omega : X_{j}(\omega) \in B \} \) jeder Borelschen Menge \( B \in \mathcal{B}^{d} \).

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© Springer Fachmedien Wiesbaden 2013

Authors and Affiliations

  1. 1.Institut für StochastikKarlsruher Institut für Technologie KITKarlsruheDeutschland

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