Irrfahrten auf dem ganzzahligen Gitter in höheren Dimensionen

Zusammenfassung

In diesem Kapitel betrachten wir eine Irrfahrt auf dem ganzzahligen Gitter ℤ^d := {k := (k ₁, ..., k _d ) : k _j ∈ ℤ für j = 1, ..., d}. Diese startet im Ursprung 0 := (0, ..., 0) des ℝ^d und bewegt sich gedächtnislos, wobei sie zu jedem Zeitpunkt mit Wahrscheinlichkeit 1/(2d) vom Punkt k in einen der 2d möglichen Nachbarpunkte von k gelangt. Dabei heißt j := (j ₁, ..., j _d ) ∈ ℤ^d Nachbarpunkt von k, falls $\sum_{m=1}^{d} | k_{m} - j_{m} | = 1$ gilt. Ein Teilchen, das eine solche Irrfahrt durchläuft, sucht sich also jeweils mit gleicher Wahrscheinlichkeit 1/d eine der Koordinatenachsen aus und und geht dann auf der gewählten Achse rein zufällig um eine Einheit vor oder zurück. Wir nehmen also vorläufig an, dass diese Irrfahrt symmetrisch ist. Welche Konsequenzen sich ergeben, wenn von obiger Gleichverteilungsannahme abgewichen wird, wird später diskutiert.