Mannigfaltigkeiten, Tensoren, Differentialformen

Zusammenfassung

Mannigfaltigkeiten und Tensoren bilden das Rüstzeug für die Differentialgeometrie gekrümmter Räume, die dem mathematischen Modell der allgemeinen Relativitätstheorie zugrunde liegt, insbesondere für Riemann- und Lorentz-Mannigfaltigkeiten. Der für die Bereitstellung dieser Konzepte benötigte mathematische Apparat ist recht umfangreich; geht es doch darum, mehrdimensionale Differentialrechnung auf Mannigfaltigkeiten neu zu etablieren und darüberhinaus einen Differentialkalkül für Tensorfelder auf diesen zu schaffen. Die Übertragung der Begriffe der mehrdimensionalen Differentialrechnung auf Mannigfaltigkeiten geschieht mit Hilfe von Koordinatensystemen, wobei sich als neuer Gesichtspunkt die Frage nach der Invarianz der neugeschaffenen Objekte stellt. Der Kalkül der Differentialformen verallgemeinert die Operationen der Vektoranalysis (Kreuzprodukt, Rotation, Divergenz) für beliebige Dimensionen, und erlaubt damit eine übersichtliche Formulierung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung.