Das Vollständigkeits-Axiom

Zusammenfassung

Mithilfe der bisher behandelten Axiome lässt sich nicht die Existenz von Irrationalzahlen beweisen, denn all diese Axiome gelten auch im Körper der rationalen Zahlen. Bekanntlich gibt es (was schon die alten Griechen wussten) keine rationale Zahl, deren Quadrat gleich 2 ist. Also lässt sich mit den bisherigen Axiomen nicht beweisen, dass eine Quadratwurzel aus 2 existiert. Es ist ein weiteres Axiom nötig, das sogenannte Vollständigkeits-Axiom. Aus diesem folgt unter anderem, dass jeder unendliche Dezimalbruch (ob periodisch oder nicht) gegen eine reelle Zahl konvergiert.