Allgemeine Ausdehnungstheorie

Zusammenfassung

Alle in dieser Arbeit vorkommenden Ringe werden als kommutativ vorausgesetzt. Ist R ein Ring, A eine R-Algebra, so braucht es im allgemeinen (wenn A kein Einselement enthält) keinen Ringhomomorphismus β: R → A zu geben, so daß die R-Algebrastruktur des Ringes A durch β gegeben wird, d.h. daß gilt r • a = β(r) • a für alle r ∈ R, a ∈ A, wobei der Punkt auf der linken Seite die äußere Multiplikation zwischen R und A, der Punkt auf der rechten Seite die Ringmultiplikation in A bedeutet. Man kann jedoch A stets durch einen R-Algebramonomorphismus π in eine R-Algebra A′ einbetten, deren R-Algebrastruktur in der angegebenen Weise durch einen Ringhomomorphismus β′: R → A′ gegeben ist. Man definiere nämlich A′ = [R; A] = {(r, a)| r ∈ R, a ∈ A} mit den Ringoperationen (r₁, a₁) + (r₂, a₂) = (r₁ + r₂, a₁ + a₂) und (r₁, a₁) ·(r₂, a₂) = (r₁ · r₂, r₁ · a₂ + r₂ · a₁ + a₁ · a₂) für alle r ₁, r ₂ ∈ R und a _l, a ₂ ∈ A, wobei innerhalb der Klammer + die Addition in R bzw. A und der Multiplikationspunkt die Multiplikation in R bzw. äußere Multiplikation von R und A, bzw. die Multiplikation in A bedeutet. A′ ist ein kommutativer Ring. Die Abbildung β′: R → A′, definiert durch β′(r) = (r, 0) für alle r ∈ R, ist ein Ringhomomorphismus.