Zusammenfassung
Ausgehend von den im vorangegangenen Kapitel getroffenen Modellannahmen soll nunmehr das individuelle. Entscheidungsproblem analysiert werden. Darauf aufbauend werden grundlegende Gleichgewichtsbetrachtungen angestellt.
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Literaturverzeichnis
Vgl. RUBINSTEIN (1973), S. 61 f.
MARKOWITZ (1952).
Grundsätzlich kann die Analyse im Rahmen des Parameter-Präferenz-Ansatzes beliebig viele Momente einer Verteilung berücksichtigen; siehe dazu RUBINSTEIN (1973).
Eine ausführliche Darstellung solcher Kritikpunkte nebst möglichen Lösungsansätzen findet sich in JENSEN (1972). Vgl. auch Abschnitt 1.1.
Als prominenteste Vertreter sind die bereits mehrfach erwähnten, das Capital Asset Pricing Modell (CAPM) begründenden Arbeiten von SHARPE (1964), LINTNER (1965) und MOSSIN (1966) zu nennen.
Für eine ausführliche Darstellung vgl. JENSEN (1972), S. 358 f.
Die Klasse aller zugelassenen Verteilungen wird in ROSS (1978a) ausführlich analysiert. Die wichtigste zugelassene Verteilung ist die Normalverteilung. Anstelle dieser Verteilungsannahme können ebenso quadratische Nutzenfunktionen unterstellt werden. Eine Übersicht der möglichen Substitutionen von Verteilungs-und Präferenzannahmen findet sich in INGERSOLL (1987), S. 164.
Eine Analyse der Preisbeziehungen im Rahmen eines Parameter-Präferenz-Ansatzes unter Berücksichtigung nicht homogener Erwartungen und Präferenzen findet sich in LINTNER (1969). DYBVIG/INGERSOLL (1982) zeigen anhand einfacher Beispiele, wie sich in solchen Modellen die Gleichgewichtspreisbeziehungen infolge einer Emission von Optionen ändern.
LINTNER (1969) kann eine solche Preisbeziehung für den Fall herleiten, daß alle Akteure konstante absolute Risikoaversion haben und eine sichere Anlage existiert.
So muß man bedenken, daß heterogene Erwartungen im Rahmen des Zustands-Präferenz-Ansatz nur erfordern, daß jedem Akteur ein Erwartungsvektor n der Dimension S zugeordnet wird. Das Parameter-Präferenz-Modell würde erfordern, daß jedem Akteur ein Erwartungsvektor der Dimension K und eine Kovarianzmatrix der Dimension K*K zugeordnet wird. Es impliziert im allgemeinen eine deutlich höhere Speicherbelegung, wenngleich zu beachten ist, daß in extremen Fällen S größer sein kann als K(l+K).
Es gilt nämlich v*=Zx*.
Die Äquivalenz der beiden Darstellungsformen demonstrierte HAKANSSON (1977), S. 174 ff.
Da nur ein gegebenes Individuum betrachtet wird, wird im folgenden die akteurspezifische Indexierung i vernachlässigt; z.B. vis=vs.
Der Extremalsatz besagt, daß jede stetige Funktion mit kompaktem Definitionsbereich ein Maximum besitzt; vgl. HEUSER (1984), S. 225 f. Beide Voraussetzungen sind aufgrund der getroffenen Annahmen erfüllt.
Vgl. RUBINSTEIN (1976), S. 413.
Eine anschauliche Darstellung der Nachfrageimplikationen absoluter und relativer Risikoaversion findet sich in HlRSHLEIFER/RILEY (1992), S. 83 ff.
Der relative Risikoaversionsparameter wird mit RRAP abgekürzt.
Für eine Reihe durchgerechneter Parameterkonstellationen konnten die Überlegungen bestätigt werden, allerdings wurden auch Gegenbeispiele gefunden; vgl. dazu Abschnitt 6.2.2.3.1. Esentspricht dem aus der Literatur bekannten Ergebnis, daß die Risikoprämien mit zunehmender Risiko-aversion steigen; siehe dazu DIAMOND/STIGLITZ (1974).
Für t=0,l,2 wäre bspw. δ=(ρ+ρ2)/(l+ρ+ρ2). Vgl. RUBINSTEIN (1977), S. 29.
Es ist ein bekanntes Resultat im Rahmen von μ-σ2-Portfolio-Selection-Modellen; vgl. RUDOLPH (1979), S. 20.
Vgl. dazu die Ausführungen unter 2.8.4 — 2.8.5.
Auch hier wird die akteurspezifische Indexierung i der Einfachheit wegen vernachlässigt.
Vgl. dazu die Ausführungen unter 2.6.
Wie noch zu zeigen sein wird, bildet der Spezialfall der quadratischen Nutzenfunktion eine Ausnahme; vgl. Abschnitt 3.3.3.
Das System läßt sich durch Einsetzen der Budgetnebenbedingung auf K Dimensionen reduzieren.
Leland konnte anhand eines Beispiels zeigen, daß ohne eine Beschränkung des Entscheidungsraumes L die optimale Portfolioentscheidung im Unendlichen liegen kann; vgl. LELAND (1972), S. 39.
In der Tat kann jeder Akteur beliebig viele Wertpapiere in beliebiger Höhe verkaufen bzw. leerverkaufen, solange er insgesamt die Budgetbeschränkung einhält und den Definitionsbereich der Nutzenfunktion nicht verläßt.
Vgl. LELAND (1972), S. 39 ff.
Die Bedingung ist in den herkömmlichen CAPM-Modellen nicht erfüllt. Daher bedarf es bei diesen Modellen einer Annahme, die ein Übermaß an Erwartungsheterogenität ausschließt; vgl. HART (1974), S. 294.
Eine angewandte Einführung in die Matrizenrechnung findet sich in ZURMÜHL/FALK (1984).
Zunächst wird die Funktion durch 1/2 dividiert, dann wird der konstante Term a2(l+ρ) abgezogen und schließlich wird der Rest nochmals durch 1/2 dividiert.
Eine ähnliche Formulierung und Herleitung findet sich bei SCHACHTER (1986). Allerdings behandelt er nur ein einperiodiges Problem.
Das kombinierte Wertpapier hat also den Auszahlungsvektor (1,0,0).
Selbstverständlich müßte das Paraboloid so bemessen sein, daß die implizite Funktion c1(c2,c3;u) bijek-tiv ist. Zur Definition eines elliptischen Paraboloides vgl. BRONSTEIN/SEMENDJAJEW (1979), S. 235.
Am einfachsten verdeutlicht dies die Vorstellung, daß das elliptische Paraboloid, das den Indifferenzkörper kennzeichnet, genau entlang der z-Achse geschnitten wird. Aus der analytischen Geometrie ist bekannt, daß solche Schnitte Parabeln sind; vgl. BRONSTEIN/SEMENDJAJEW (1979), S. 235.
Für den Fall mit drei Zuständen würde auf den Achsen (a*c1+b*c2+c*c3) bzw. (d*c1+e*e2+f*c3) stehen.
ARROW (1953).
Vgl. DEBREU (1959), Kapitel 7.
FRIESEN (1979).
Vgl. MOSSIN (1977), S. 21 ff.
Vgl. DIAMOND (1967), S. 762.
Vgl. HART (1975), S. 427 ff. Entscheidend ist die Annahme, daß die Auszahlungen der Wertpapiere in unterschiedlichen Gütern erfolgen. Damit stützte sich Hart auf ein von RADNER (1972) entwickeltes Mehr-Gut-Mehr-Perioden-Modell. Später gelang mehreren Autoren ein Existenznachweis für Wettbewerbsgleichgewichte, falls die Auszahlungen der Wertpapiere in einem Nume-réraire-Gut erfolgen; solche Finanzmarktmodelle wurden von WERNER (1985), GEANAKOPLOS/POLEMARCHAKIS (1986) und DUFFIE (1987) entwickelt. Für den Fall, daß die Auszahlungen der Wertpapiere doch in verschiedenen Gütern erfolgen, konnten DUFFIE/SHAFER (1985) und (1986) einen generischen (eine Aussage wird als generisch bezeichnet, wenn jene Parameterkonstellationen, für die sie nicht gilt, im wahrscheinlichkeitstheoretischen Sinne vernachlässigbar sind; vgl. MAS-COLELL (1985), S. 317 f.) Existenznachweis liefern. POLEMARCHAKIS/KU (1990) konnten allerdings zeigen, daß dieser Existenznachweis durch die Einführung von Optionen nicht mehr gültig sein muß. Einen guten Überblick über die verschiedenen Gleichgewichtsmodelle mit unvollständigen Wertpapiermärkten liefern GEANAKOPLOS (1990), POLEMARCHAKIS (1990) und CASS (1991).
Davon machte auch DIAMOND (1967) in seinem Modell Gebrauch. Es ist wohl das wichtigste Argument, das für die Verwendung eines Ein-Gut-Zwei-Perioden-Modells spricht; darauf hat auch HART (1975) hingewiesen.
GEANAKOPLOS (1990), S.U.
Marktgleichgewichte mit einer simultanen Bestimmung der Mengen und Preise werden in Anlehnung an ihren “Erfinder” als Walras-Gleichgewichte bezeichnet. Im Gegensatz zu den klassischen Ökonomen, welche die preisbestimmenden Faktoren in den technologischen Gegebenheiten suchten, entwickelte Walras (1834–1910) ein Modell in dem die Interaktion von Produzenten und Konsumenten die “ultima ratio” des ökonomischen Prozesses war; siehe WALRAS (1874). Walras wird daher oft als Begründer der allgemeinen Gleichgewichtstheorie bezeichnet.
Ausführliche Beweise eines allgemeinen Gleichgewichtes für Ökonomien mit oder ohne Produktion können in unzähligen Standardwerken der MikroÖkonomie nachgelesen werden. An dieser Stelle sei nur auf einige wenige ausgewählte Werke verwiesen. Der erste Beweis eines solchen Gleichgewichtes findet sich bei WALD (1936). Ein weiterer Meilenstein in der Geschichte allgemeiner Gleichgewichtstheorie wurde von ARROW/DEBREU (1954) gelegt. Zweifelsohne gehört dazu auch die Systematisierung des damaligen Erkenntnisstandes in DEBREU (1959) mit einer ausführlichen Beweisdarstellung in 5. Kapitel (dt. Übersetzung). Ein Überblick hinsichtlich der sich im Lauf der Zeit entwickelnden Beweisideen findet sich in DEBREU (1982). Als weitere Standardwerke der allgemeinen Gleichgewichtstheorie mit einer sehr ausführlichen Behandlung des Existenzproblems sind ARROW/HAHN (1971) und CORNWALL (1984) zu nennen. Eine etwas komprimierte Darstellung findet sich in HILDENBRAND/KIRMAN (1988).
Selbstverständlich verwenden anspruchsvolle Autoren an dieser Stelle die Verallgemeinerung des Theorems von Kakutani auf Korrespondenzen. Es hat den Vorteil, daß auch Mengenabbildungen (Korrespondenzen) zulässig sind, was gerade bei der Berücksichtigung von Produktion mit konstanten Skalenerträgen von Bedeutung ist. Wegen der strengen Konvexität der Präferenzen im vorliegenden Fall und der Nichtberücksichtigung von Produktion genügt die Verwendung des Brou-wer’schen Fixpunktsatzes; vgl. HILDENBRAND/KIRMAN (1988), 3. Kapitel. Eine ausführliche Darstellung dieser beiden Fixpunktheoreme findet sich in HEUSER (1983), S. 592 ff. und S. 614 ff.
Es kann als eine Hyperebene betrachtet werden.
Vgl. Gleichung (3.4.4).
Das Walras-Gesetz besagt, daß die preisbewertete Überschußnachfrage null sein muß, d.h.
In Anlehnung an die Terminologie von Walras wird zumeist ganz allgemein von Tâtonement-Prozessen gesprochen; siehe D. A. WALKER (1987).
Dies wird in der Literatur als Stabilitätsanalyse bezeichnet; vgl. ARROW/HAHN (1971), Kapitel 11-13.
Der in der Literatur am häufigsten vorzufindende Vorschlag einer konkreten Ausgestaltung von g(p+) lautet: Wegen g’l=l ist die Bedingung erfüllt, daß g auf das Einheitssimplex abbildet; vgl. VARIAN (1985), S. 201.
Eine konkrete Anwendung des Fixpunkttheorems für den Existenznachweis eines Gleichgewichtes bei unvollständiger Marktstruktur findet sich in HUSSEINI/LASRY/MAGILL (1990).
Ökonomien, die zumindest lokale Eindeutigkeitseigenschaften aufweisen, werden als reguläre Ökonomien bezeichnet. Eine ausführliche Darstellung dieses Konzeptes findet sich in DIERKER (1982).
Vgl.. HILDENBRAND/KIRMAN (1988), S. 222 ff.
Eine Matrix ist dann negativ définit, wenn alle Hauptminoren-Determinanten der Ordnung k das Vorzeichen (-l)k besitzen.
Die Annahme würde bedeuten, daß vgl. ARROW/HAHN (1971), S. 221 ff. Eine Diskussion der verschiedenen Annahmen, die Eindeutigkeit garantieren, findet sich in HILDENBRAND/KIRMAN (1988).
Vgl. VARIAN (1985), S. 135 ff.
Das Zusammenwirken der beiden Effekte wird von INGERSOLL (1987), S. 68 ff., genauer diskutiert. Er kann zeigen, daß unter bestimmten Präferenzannahmen bzw. Annahmen an die Verteilung der Wertpapiererträge, das Vorzeichen des Gesamteffektes bestimmbar ist.
Vgl. VARIAN (1985), S. 128.
CORNWALL (1984), S. 46.
Die Steigungen der Niveauflächen sind entlang der Fahrstrahlen durch den Nullpunkt konstant; vgl. VARIAN (1985), S. 339.
Vgl. HILDENBRAND/KIRMAN (1988), S. 229.
Die Bedingung gilt allerdings nur, sofern es keine negativen Erstausstattungen gibt.
Vgl. GEANAKOPLOS/POLEMARCHAKIS (1986), S. 73.
Die Regularität von unvollständigen Mehr-Güter-Mehr-Perioden Finanzmarktmodellen wurde von GEANAKOPLOS/POLEMARCHAKIS (1986), S. 82 ff., bewiesen.
HILDENBRAND/KIRMAN (1988), S. 48.
Vgl. DEBREU (1959), Kapitel 7, oder MOSSIN (1977), S. 21 ff.
Es wurde bspw. von DIAMOND (1967) gezeigt. Die eingeschränkten Effizienzeigenschaften werden auch von GEANAKOPLOS (1990), S. 25 ff., ausführlich diskutiert. GEANAKOPLOS/POLEMARCHAKIS (1986) weisen daraufhin, daß diese eingeschränkten Effizienzeigenschaften nur in Ein-Gut-Zwei-Perioden-Modellen gelten.
Der Tatbestand wurde zuerst von HART (1975) erkannt. GEANAKOPLOS/POLEMARCHAKIS (1986) können das Ergebnis generisch verallgemeinern.
Siehe WILSON (1968).
Für eine allgemeine Darstellung der Ermittlung solcher Teilungsregeln vgl. WILSON (1968), S. 123 ff. Für eine explizite Berechnung von Teilungsregeln für eine Zwei-Zustände-Zwei-Personen-Ökono-mie vgl. SCHREMS (1973), S 16 ff., oder MOSSIN (1977), S. 50 ff.
Ein ähnliches Beispiel findet sich in MOSSIN (1977), S. 52.
Vgl. VARIAN (1985), S. 213.
Die gewichtete Nutzensumme wird nach den zustandsbedingten Konsumansprüchen unter der Nebenbedingung, daß die Summe der Konsumansprüche dem aggregierten Konsumvolumen entsprechen muß, maximiert. Nach Ableitung und Nullsetzen der Lagrange-Funktion erhält man die angegebene Effizienzbedingung.
Eine ausführliche Erläuterung der graphischen Darstellungsmöglichkeiten mittels einer Edgeworth-Box findet sich in CORNWALL (1984), S. 3 ff.
Als Kern bezeichnet man die Menge jener Allokationen, bei denen niemand besser gestellt werden kann, ohne daß jemand schlechter gestellt wird. Es entspricht in Abbildung 3.3 dem Teil der Kontraktkurve, der im Inneren der Tauschlinse liegt.
In der angelsächsischen Literatur spricht man zumeist von “side bets”; vgl. WILSON S. 123 ff.
Es ist eine sehr freie Übersetzung des Begriffes “side bets”.
Ein solches Wertpapier wird als Marktportfolio bezeichnet.
Für den Fall, daß alle α1=0 sind, würde sogar das Marktportfolio allein ausreichen, um alle optimalen Verteilungen zu erzeugen. Dieser Fall entspricht der diagonalen Kontraktkurve in Abbildung 3.4.
TOBIN (1958).
Der Begriff wird aber auch verwendet, um Teilungsregeln zu charakterisieren, die ohne sichere Anlage aber mit zwei verschiedenen, aus allen umlaufenden Wertpapieren zusammengestellten Fonds auskommen. Es würde dann der allgemeinen Teilungsregel (3.5.2) entsprechen, wobei M=2 und α1=0 ∀i∈l wäre; vgl. CASS/STIGLITZ (1970), S. 125 ff.
In der Tat läßt sich bei quadratischen Nutzenfunktionen zeigen, daß die Teilungsregeln zwar immer linear sind, ihre konkrete Form jedoch durch eine Marktvervollständigung berührt wird; vgl. dazu Abschnitt 4.5.1.2.
TOBIN (1958). Da das Tobin-Separationstheorem das wichtigste Separationstheorem ist, wird vielfach auch nur vom Separations-Theorem gesprochen. Um hervorzuheben, daß für diese Art der Separation eine sichere Anlage benötigt wird, spricht man auch von “monetary separation”; vgl. CASS/STIGLITZ (1970), S. 127.
CASS/STIGLITZ (1970), S. 122.
Zum einen müssen homogene Erwartungen unterstellt werden, zum anderen muß, sofern die Nutzenfunktionen aller Akteure nicht quadratisch sind, die Verteilung der Aktienkurse bestimmten Stabilitäts-und Unabhängigkeitskriterien genügen. Die bekannteste Verteilung ist die multivariate Normalverteilung. Darüberhinaus bedarf es eines nicht mit dem restlichen Markt korrelierten Papiers. Dies kann durch die Annahme der Existenz einer sicheren Anlage erfüllt werden; vgl. ROSS (1978a) und FAMA (1971), S. 31 f.
Die Ansätze werden auch unter dem Begriff der nutzenbedingten Separation zusammengefaßt, was darin begründet liegt, daß zur Herleitung von Separationstheoremen im Rahmen dieser Modelle Bedingungen hinsichtlich der zulässigen Nutzenfunktionen getroffen werden müssen. Im Rahmen von Parameter-Präferenz-Modellen spielen vor allem die Restriktionen hinsichtlich der statistischen Verteilung von Aktienkursen eine Rolle, so daß man auch von verteilungsbedingter Separation spricht. Eine dritte Gruppe von Separationstheoremen ergibt sich im Fall dynamischer Modellformulierungen. Man spricht dann von zeitbedingter Separation. Eine sehr interessante Zusammenfassung der unterschiedlichen Separationsansätze findet sich in FRANKE (1983).
CASS/STIGLITZ (1970).
Vgl. CASS/STIGLITZ (1970), S. 137 f.
Vgl. INGERSOLL (1987), S. 145, oder CASS/STIGLITZ (1970), S. 137 ff.
Soweit man von unterschiedlichen Zeitpräferenzen absieht, müssen die Nutzenfunktionen der Marktteilnehmer nur bis auf affine Transformationen identisch sein. Daß solche Ökonomien behandelt werden können, als ob es nur einen repräsentativen Akteur gibt, wurde von RUBINSTEIN (1974), S. 232 f., ausführlich analysiert.
Sind die individuellen Zeitpräferenzparameter identisch, dann ist der Faktor ßi genau proportional zum Vermögen.
Die Notwendigkeit der Bedingung sowie ihre Gültigkeit für die Spezialfälle von logarithmischen oder exponentiellen Nutzenfunktionen kann bei CASS/STIGLITZ (1970), S. 128 ff., oder FRANKE (1983), S. 243 f., nachgelesen werden.
Es ergibt sich aus einer einfachen Gleichgewichtsüberlegung. Wenn im Optimum alle Akteure die Restwertpapiere in derselben Struktur halten und insgesamt der Markt dieser Papiere geräumt sein muß, dann muß die Gesamtmenge der umlaufenden Restwertpapiere auch ihrer Struktur entsprechen.
Vgl. CASS/STIGLITZ (1970), S. 127 ff.
Vgl. CASS/STIGLITZ (1970), S. 144 f., oder ROSS (1978a), S. 277 ff.
Vgl. ROSS (1978a), S. 277 ff.
Vgl. bspw. FRANKE (1983), S. 243 ff., CASS/STIGLITZ (1970), S. 141 ff., oder MOSSIN (1977), S. 61 ff.
Vgl. INGERSOLL (1987), S. 146.
Wegen (A14) muß sein Vermögen dafür ausreichen.
Vgl. CASS/STILGITZ (1970), S. 137 ff.
In diesem Fall ist M=2.
Zu beachten ist, daß die Gleichgewichtspreise unabhängig von den Erstausstattungen sind, sofern die Konsumentscheidung unberücksichtigt bleibt — wie im vorliegenden Fall — oder die individuellen Zeitpräferenzraten identisch sind. Das erkennt man daran, daß unter diesen Voraussetzungen das individuelle Vermögen w, welches über den Lagrangemultiplikator (Gleichung (3.3.11) in die Nachfragefunktion (3.3.10) eingeht, sich in der Markträumungsgleichung immer zum Gesamtvermögen aufaddieren läßt.
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Kaserer, C. (1993). Portfolioanalyse und Marktgleichgewichte. In: Optionsmärkte und Risikoallokation. Physica-Schriften zur Betriebswirtschaft, vol 45. Physica-Verlag HD. https://doi.org/10.1007/978-3-642-99771-6_4
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