Schwierigkeiten bei der Erzeugung gleichverteilter Zufallszahlen

Zusammenfassung

Zufallszahlen werden heute in vielen Teilen der Mathematik und ihrer Nachbargebiete wie Operations Research, Betriebswirtschaft,Ingenieurwissenschaften, Physik und Chemie gebraucht. Wir führen zwei Beispiele an:

• (i) Stochastische Vorgänge, z.B. Simulation eines Grenzüberganges. Die Zeit zwischen Ankünften zweier aufeinanderfolgender Autos genügt einem aus Beobachtungen bekannten Verteilungsgesetz. Die Autos werden an n Schaltern abgefertigt. Gefragt ist beispielsweise nach der Verteilung der Wartezeiten in Abhängigkeit von n.

• (ii) Numerische Prozesse, z.B. die Integration von Funktionen inIRⁿ für großes n; die normalen Verfahren versagen dann. Bei CERN oder in Los Alamos werden daher derartige Integrale durch Simulation bestimmt: Sind u = (u₁,...,u _n) ∈ [0,1)ⁿ gleichverteilte Zufallsvektoren, so verwendet man die Riemann-Summen als Näherungsausdruck für das Integral. Es gilt nämlich nach Koksma und Hlawka

  $$\left| \int\limits_{o}^{1}{f\left( {{u}_{1}},\cdots ,{{u}_{n}} \right)d{{u}_{1}}-d{{u}_{n}}-\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{N}{f\left( u_{1}^{\left( i \right)},\cdots ,u_{n}^{i} \right)}} \right|\le V\left( f \right){{\Delta }_{N}}$$

  (1)

  Dabei ist V(f) die Variation von f und ∆_N die Diskrepanz der Folge u ⁽¹⁾ die später diskutiert wird.