Über den Begriff des analytischen Funktionselementes

Zusammenfassung

Den Begriff der analytischen Funktion f(z₁, z₂,…,z _n ) führen wir mit Hilfe konvergenter (n-facher) Potenzreihen <InlineEquation ID="IEq(1)"><EquationSource Format="TEX"><![CDATA[$$\[\sum\limits_{{m_1},…,{m_n}}^\infty {{a_{{m_1},{m_2},…m}}_n{{({z_1} - {\alpha _1})}^{{m_1}}}{{({z_2} - {\alpha _2})}^{{m_2}}}…{{({z_n} - {\alpha _n})}^{{m_n}}}} \]$$]]></EquationSource></InlineEquation> ein. Die Reihe (1) mit dem Entwicklungspunkt (α₁, α₂, …, α _n ) heiße dabei im Punkte (β₁, β₂, …, β _n ) konvergent, wenn mindestens eine der einfachen Reihen, in die (1) angeordnet werden kann, im Punkte (β₁, β₂, …, β _n ) konvergiert. Aus der Konvergenz dieser Reihe im Punkte (β₁, β₂, …, β _n ) folgt die absolute und gleichmäßige Konvergenz für jede abgeschlossene Punktmenge, die ganz im Innern des Polyzylinders | z _i − α _i | < | βi − α _i (i = 1, 2,…, n) liegt (zitiertals Satz A). Ferner gibt es zu je n − 1 nichtnegativen Zahlen r_1, …, r _{ν −1}, r _{ν +1}, …, r _{n −1} eine nichtnegative Zahl r _ν , so daß die Reihe (1) für alle Punkte (z₁, z₂,…, zn) konvergiert, für die | z _i − α _i | < r _i (i = 1, 2, …, n), und divergiert für alle Punkte, für die | z _i − α _i | > r _i (i = 1, 2, …, n).