Zusammenfassung
Wir wollen berechnen, wie sich die Oberfläche einer krummen Fläche bei einer Formänderung verhält. Es sei x (u v) die Ausgangsfläche.
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Literatur
J. Plateau: Recherches experimentales et théoriques sur les figures d’équilibre d’une masse liquide sans pesanteur. Mémoires de l’Académie royale de Belgique Bd. 36. 1866.
J. L. Lagrange: Werke I, S. 335.
Hier wird der Fall übergangen, daß es bloß eine solche Kurvenschar gibt, was nur bei imaginären Torsen möglich ist, deren Erzeugende isotrope Geraden sind.
Vgl. etwa G. Monges „Application…“von 1850, § XX, S. 211–222. Die ersten Versuche Monges über Minimalflächen gehen bis auf 1784 zurück.
S. Lie: Beiträge zur Theorie der Minimalflächen. Math. Ann. Bd. 14, S. 331. 1879.
K. Weierstrasz: Untersuchungen über die Flächen, deren mittlere Krümmung überall gleich Null ist. Werke III, S. 39–52; bes. S. 46 (35).
Vgl. dazu §104, Aufg.13.
Vgl. die Angaben am Schlusse der Abhandlung E. Study: Über einige imaginäre Minimalflächen. Leipz. Akad.-Ber. Bd. 63, S. 14–26. 1911.
C. F. Gausz: Principia generalia theoriae figurae fluidorum in statu aequilibrii. Werke Bd. 5, S. 29–77, bes. S. 65.
H.A. Schwarz: Mathematische Abhandlungen I, S. 178.
Vgl. W. Blaschke: Reziproke Kräftepläne zu den Spannungen in einer biegsamen Haut. Congress Cambridge Bd. 2, S. 291–297. 1912.
Es ist das ein Sonderfall eines Satzes von Fräulein E. Noether über invariante Variationsprobleme. Gött. Nachr. 1918, S. 235–257.
H. A. Schwarz: Mathematische Abhandlungen I, S. 179, S. 181.
H. A. Schwarz: Mathematische Abhandlungen I, S. 179, S. 181.
E. Study: Leipz. Ber. Bd. 63, S. 23, 26. 1911.
T. Carleman: Zur Theorie der Minimalflächen. Math. Z. Bd. 9, S. 154 bis 160. 1921.
S. Bernstein: Math. Ann. Bd. 69, S. 126, 127. 1910.
Man kann zu dem eben geführten Nachweis auch folgenden Mittelwertsatz von O. Hölder (1884) heranziehen:
J. Steiner: Einfache Beweise der isoperimetrischen Hauptsätze. Werke II, S. 75–91.
H. A. Schwarz: Beweis des Satzes, daß die Kugel kleinere Oberfläche besitzt als jeder andere Körper gleichen Volumens. Gesammelte Abhandlungen II, S. 327–340.
W. Blaschke: Kreisrund Kugel. Leipzig 1916.
W. Gross: Die Minimaleigenschaft der Kugel. Monatsh. Math. Phys. Bd. 28, S. 77–97. 1917.
Daß bei Eiflächen aus <Equation>5</Equation> für die Oberflächen <Equation>6</Equation> folgt, kann man z. B. aus der Formel (4) von § 105 für die Variation einsehen. Umgekehrt kann man diese Ungleichheit auch zur Definition des Begriffs Oberfläche einer Eifläche verwenden, wie es der Verfasser in seinem Büchlein „Kreis und Kugel“S. 58, Leipzig 1916, durchgeführt hat.
H. A. Schwarz: Gesammelte Abhandlungen I, S. 157.
H. A. Schwarz: Gesammelte Abhandlungen I, S. 223–269.
L. Lichtenstein: Untersuchungen über zweidimensionale reguläre Variationsprobleme I. Monatsh. Math. Phys. Bd. 28, S. 3–51. 1917.
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Blaschke, W. (1945). Extreme bei Flächen. In: Vorlesungen Über Differentialgeometrie I. Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol 1. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-99615-3_9
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