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Fragen der Flächentheorie im Großen

  • Wilhelm Blaschke
Part of the Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften book series (GL, volume 1)

Zusammenfassung

Ein genügend kleines Flächenstück läßt stets längentreue Formänderungen zu. Anders ist es bei Flächen in ihrer Gesamterstreckung, wenigstens, sobald wir an unseren früheren Regularitätsvoraussetzungen festhalten. So hat schon 1838 F. Minding als Vermutung ausgesprochen1, daß die Kugelfläche als Ganzes „starr“ ist. Aber erst 1899 hat H. Liebmann diese Behauptung begründen können2. Auf die allgemeinen Sätze, die damals H. Minkowski schon gefunden, aber noch nicht veröffentlicht hatte, kommen wir später zurück. Da nach Gausz bei längentreuen Abbildungen das Krümmungsmaß erhalten bleibt, läßt sich der Satz Liebmanns so fassen:

Die einzige geschlossene Fkäche mit Gausz schem festem Krümmunggsma ist die Kugel

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Literatur

  1. 1.
    F. Minding: Über die Biegung krummer Flächen. Crelles J. Bd. 18, S. 365 bis 368, bes. S, 368. 1838.Google Scholar
  2. 2.
    H. Liebmann: Eine neue Eigenschaft der Kugel. Gött. Nachr. 1899, S. 44 bis 55. Der Beweisversuch von J. H. Jellet 1854 ist unzureichend.Google Scholar
  3. 3.
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  4. 1.
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  5. 1a.
    Vgl. ferner die Arbeiten: E. Rembs: Heidelberger Berichte 1927 (Bew. des Satzes f. d. punktierte verlängerte Rotationsellipsoid).Google Scholar
  6. 1b.
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  9. 2.
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  10. 1.
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  11. 2).
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  12. 2a).
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  13. 2b).
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  14. 2c).
    Vgl. auch den sehr einfachen Beweis bei A. Duschek: Monatsh. f. Math. u. Phys. Bd. 36, S. 131–134. 1929.CrossRefzbMATHMathSciNetGoogle Scholar
  15. 1.
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  16. 1.
    Vgl. dazu die Angaben von Aufgabe 13 des § 60.Google Scholar
  17. 1.
    E. B. Christoffel: Über die Bestimmung der Gestalt einer krummen Fläche durch lokale Messungen auf derselben. Werke I, S. 162 – 177. Leipzig und Berlin 1910. Vgl. auch A. Hurwitz: Sur quelques applications géometriques des séries de Fourier. Ann. de l’Ecole Normale (3) Bd. 19, S. 357–408. 1902.Google Scholar
  18. 2.
    Vgl. etwa E. Heine: Handbuch der Kugelfunktionen, 2. Aufl., Leipzig 1881.Google Scholar
  19. 1.
    P. L. Tschebyscheff: Sur la coupe des vêtements. Œuvres II, S. 708. — A. Voss: Über ein neues Prinzip der Abbildung krummer Oberflächen. Math. Ann, Bd. 19, S. 1–26. 1882.Google Scholar
  20. 1a.
    Vgl. auch die Arbeit von L. Bieberbach: Sitzungsber. Berliner Akad. 1926, S. 294–321.Google Scholar
  21. 8.
    Vgl. auch das Lehrbuch von L. Bianchi: Lezioni di geometria differenziale. 3. Aufl., I, S. 153–162. 1920. Dieses Lehrbuch, das auch in einer verkürzten deutschen Übersetzung erschienen ist, ist eines der bedeutendsten neueren Werke über Differentialgeometrie. Luigi Bianchi war durch lange Jahre Professor der Mathematik an der Universität und als Nachfolger, Dinis Direktor der Scuola normale in Pisa (geb. in Parma 1856, gest. 1928). Er hat die Differentialgeometrie um eine Fülle schönster Ergebnisse bereichert, in Italien eine ausgedehnte mathematische Lehrtätigkeit entfaltet und Anregung zu einer großen Zahl wissenschaftlicher Arbeiten gegeben. Er hat Lehrbücher über sehr verschiedene mathematische Gebiete verfaßt. Dieser unermüdliche Gelehrte war gegen seine Mitmenschen und insbesondere gegen seine Schüler, zu denen sich auch der Verfasser zählen darf, von solcher hilfsbereiten Liebenswürdigkeit und trotz schwerer Lebensbedingungen von so heiterer Lebensart, daß er wohl kaum einen Feind hinterlassen hat.Google Scholar
  22. Vgl. die Nachrufe von G. Fubini: Bolletino Unione Mat. Italiana Bd. 7, 1928Google Scholar
  23. 8a.
    Und G. Fubini Annali di Mat. (4) Bd. 6, S. 45–83. 1928/29.MathSciNetGoogle Scholar
  24. 1.
    J. N. Hazzidakis: Über einige Eigenschaften der Flächen mit konstantem Krümmungsmaß. Crelles J. Bd. 88, S. 68–73. 1880.Google Scholar
  25. 1.
    E. Holmgren: Comptes Rendus Bd. 134, S. 740–743. 1902. Eine Kritik des Holmgren schen Beweises findet sich bei L. Bieberbach, Acta Math. Bd. 48. 1926: „Hilberts Satz über Flächen konstanter Krümmung“. In dieser Arbeit ist der Nachweis dafür erbracht, daß je zwei Asymptotenlinien verschiedener Scharen auf unsrer Fläche sich schneiden.Google Scholar
  26. 1.
    H. Poincaré: Sur les lignes géodésiques des surfaces convexes. Am. Transactions Bd. 6, S. 237–274. 1905.CrossRefzbMATHGoogle Scholar
  27. 1.
    Man vgl. etwa O. Bolza: Vorlesungen über Variationsrechnung, Kap. IX, S. 419–433. Leipzig und Berlin 1909. Vgl. im folgenden § 101.Google Scholar
  28. 2.
    Man kann übrigens leicht sehen, daß v von der Wahl des Koordinatenursprungs, nicht abhängt.Google Scholar
  29. 8.
    Es gibt stets geschlossene doppelpunktfreie Kurven auf unsrer Eifläche, für die der Vektor <Inline>1</Inline> = 0 ist. Die Kugel um , die den Umfang einer solchen Kurve zum Halbmesser hat, liegt innerhalb von .Google Scholar
  30. 1.
    Es wäre dabei z.B. die Differenzierbarkeit der Fläche <Inline>4</Inline> nachzuweisen.Google Scholar
  31. 2.
    G. D. Birkhoff: Dynamical systems with two degrees of freedom. Am. Transactions Bd. 18, S. 199–300. 1917.CrossRefzbMATHMathSciNetGoogle Scholar
  32. 2a.
    Neue Ergebnisse über geodätische Linien auf Eiflächen bei A. Speiser: Viertelkahrsschrift der naturforschenden Gesellschaft in Zürich Bd. 56, S. 28–33. 1921.Google Scholar
  33. 1.
    G. Erdmann: Über unstetige Lösungen in der Variationsrechnung. Grelles J. Bd. 82, S. 21–30. 1877.Google Scholar
  34. 2.
    C. Carathéodory: Über die diskontinuierlichen Lösungen in der Variationsrechnung. Diss. Göttingen 1904, vgl. den Schluß S. 71.Google Scholar
  35. 1.
    Für v = konst. bekommt man hieraus die Formel § 90, Aufg. 1.Google Scholar
  36. 2.
    G. A. Bliss: Jacobis condition…, Am. Transactions Bd. 17, S. 195 bis 206. 1916.zbMATHMathSciNetGoogle Scholar
  37. 1.
    Vgl. etwa O. Bolza: Vorlesungen über Variationsrechnung, S. 82 – 87. Leipzig 1909. Ein einfacher Beweis für die Bedingung Jacobis im Fall der geodätischen Linien findet sich beiGoogle Scholar
  38. 1a.
    G. Darboux: Surfaces III, S. 97. 1894.Google Scholar
  39. 2.
    C. G. J. Jacobi: Zur Theorie der Variationsrechnung. Werke IV, S. 39–55.Google Scholar
  40. 3.
    G. Darboux: Surfaces III, S. 86–88.Google Scholar
  41. 1.
    J. C. F. Sturm: Mémoire sur les équations différentielles du second ordre. Journ. Liouville Bd. I, S. 131. 1836.Google Scholar
  42. 1.
    O. Bonnet: Comptes Rendus Bd. 40, S. 1311–1313. 1855.Google Scholar
  43. 1.
    Man vgl. etwa W. Blaschke: Kreis und Kugel, S. 119. Leipzig 1916.zbMATHGoogle Scholar
  44. 1.
    Literaturangaben bei O. Bolz a: Variationsrechnung, 9. Kap., S. 419.Google Scholar
  45. 1.
    D. Hilbert: Grundlagen der Geometric, 3. Aufl., §23, S. 72 u. f. Leipzig und Berlin 1909.Google Scholar
  46. 2.
    Bei den Ausführungen dieses Abschnitts hat sich der Verfasser mehrfach auf mündliche Mitteilungen seines verehrten Kollegen J. Radon stützen können. Vgl. im folgenden § 104 Aufgabe 15.Google Scholar
  47. 1.
    Nach einer brieflichen Mitteilung von 1925 an den Verfasser.Google Scholar
  48. 2.
    Auf diese für die Kreise auf der Kugel gültige Konfiguration hat zuerst A. Miquel hingewiesen: Théorèmes de géométrie. Liouvilles Journal Bd. 3 (1838), S. 517.Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag OHG. in Berlin 1945

Authors and Affiliations

  • Wilhelm Blaschke

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