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Extreme bei Kurven

  • Wilhelm Blaschke
Part of the Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften book series (GL, volume 1)

Zusammenfassung

Wir wollen jetzt weitere Fragen der Kurventheorie behandeln, indem wir die Methoden der Variationsrechnung heranziehen. Diese Methoden werden für spätere Entwicklungen (§§ 37 und 69) wichtig werden. Es sei x (s) eine ebene oder räumliche Kurve. Wir leiten daraus eine zweite \((\overline)\) her durch den Ansatz:
$$\overline = + u{\xi _1} + v{\xi _2} + \omega {\xi _3} = + \eta ,$$
(1)
wobei die ξi (s) die Einheitsvektoren des begleitenden Dreibeins von x und u, v, w Funktionen von s bedeuten, die noch einen Parameter e enthalten:
$$ u = \varepsilon \overline u (s)\;,\quad v = \varepsilon \overline v (s)\;,\quad v = \varepsilon \overline w (s)\;,\quad = \varepsilon \overline (s)\; $$
(2)
.

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Lituratur

  1. 1.
    Vgl. zu dieser Formel auch die Arbeit von G. Hamel: Sitzgsber. Berl. Math. Ges. Bd. 16, S. 5. 1917.Google Scholar
  2. 2.
    Unter recht allgemeinen Voraussetzungen findet man den Beweis in dem Büchlein des Verfassers „Kreis und Kugel“(Leipzig 1916) geführt. Dort finden sich auch Literatur angaben.Google Scholar
  3. 3.
    Crone, C.: Nyt Tidskrift f. Math. Bd. 4 XV, S. 73–75. 1904; Frobenius, G.: Über den gemischten Flächeninhalt zweier Ovale. Sitzgsber. preuß. Akad. Wiss., Physik. math. Kl. (1), S. 387–404. Berlin 1915.Google Scholar
  4. 1.
    Eine ähnliche Beweisführung bei H. Liebmann: Math. J. Bd. 4, S. 288–294. 1919.CrossRefzbMATHMathSciNetGoogle Scholar
  5. 1.
    A. Hurwitz: Quelques applications géométriques des séries de Fourier. Ann. de l’école normale (3), Bd. 19, S. 357–408, bes. S.Google Scholar
  6. 1a.
    A. Hurwitz: Quelques applications géométriques des séries de Fourier. Ann. de l’école normale (3), Bd. 19, S. 392–394. 1902.MathSciNetGoogle Scholar
  7. 2.
    Etwa Ch.-J. de la Vallée-Poussin: Cours d’Analyse, tome II, S. 165. Paris 1926/28.Google Scholar
  8. 3.
    Der Beweis der Sätze dieses Abschnitts ist der Arbeit von Erhard Schmidt, Sitzgsber. Ak. Berl. 1925, S. 485ff. entnommen.Google Scholar
  9. 1.
    Die Kenntnis der Schwarz sehen Sätze verdankt der Verfasser einer Mitteilung von C. Carathéodory.Google Scholar
  10. 2.
    Math. Ann. Bd. 83, S. 143–148. 1921.Google Scholar
  11. 3.
    Vgl. das Zitat zu Beginn dieses Abschnitts.Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag OHG. in Berlin 1945

Authors and Affiliations

  • Wilhelm Blaschke

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