Zusammenfassung
Wir sind im vorigen Kapitel durch Aufstellung der Differentiationsregeln zu einer weitgehenden Beherrschung der Aufgabe gelangt, gegebene Funktionen zu differenzieren. Aber gerade das umgekehrte Problem, das des Integrierens, geht fast überall an Wichtigkeit dem des Differenzierens voran. Demgemäß sind wir nunmehr genötigt, uns mit der Kunst des Integrierens gegebener Funktionen zu befassen.
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Literatur
Wir verstehen darunter eine Funktion, welche sich durch mehrmalige Anwendung von Zusammensetzungsprozessen und rationalen Operationen aus den elementaren Funktionen bilden läßt. Dabei mache ich darauf aufmerksam, daß die Unterscheidung zwischen „elementaren“Funktionen und anderen etwas an sich recht Willkürliches ist.
Man bestätige diese und die folgenden Formeln, indem man zeigt, daß durch Differentiation des Ergebnisses der Integrand entsteht. Übrigens werden die Formeln natürlich nur behauptet, soweit die darin vorkommenden Ausdrücke Sinn haben.
Die Annahme der Gleichheit dieser Teilintervalle ist übrigens keineswegs wesentlich für den Beweis.
Denn sin x cos x = tg x cos2 x läßt sich natürlich rational durch tg x ausdrücken.
Auf die Ausführung dieses Gedankens will ich hier nicht eingehen. Das Wesentliche ist, daß man die Additionstheoreme der Umkehrfunktionen, d. h. des Sinus und des Tangens, beweist.
Vgl. F. Klein, Elementarmathematik vom höheren Standpunkt aus, III. S. 39 ff. Berlin: Julius Springer 1928.
Eigentlich müßten wir beachten, daß wir früher bei der Integraldefinition die Intervalle als abgeschlossen betrachteten und die Funktion als stetig in dem abgeschlossenen Intervalle voraussetzten. Es entsteht aber hieraus jetzt keine Schwierigkeit für uns, da wir für jedes abgeschlossene Teilintervall die Funktion f(x) zu einer stetigen ergänzen können, indem wir einfach die Grenzwerte der Funktion bei Annäherung an die Endpunkte vom Inneren des Intervalles als Funktionswerte in diesen Endpunkten hinzunehmen.
Im achten Kapitel, Anhang, werden wir übrigens sehen, daß eine solche Vorzeichenbeschränkung leicht beseitigt werden kann.
Die Aufhebung dieser Vorzeichenbeschränkung ergibt sich von selbst im Anhang zum achten Kapitel.
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Dieses Kapitel ist Teil des Digitalisierungsprojekts Springer Book Archives mit Publikationen, die seit den Anfängen des Verlags von 1842 erschienen sind. Der Verlag stellt mit diesem Archiv Quellen für die historische wie auch die disziplingeschichtliche Forschung zur Verfügung, die jeweils im historischen Kontext betrachtet werden müssen. Dieses Kapitel ist aus einem Buch, das in der Zeit vor 1945 erschienen ist und wird daher in seiner zeittypischen politisch-ideologischen Ausrichtung vom Verlag nicht beworben.
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Courant, R. (1927). Weiterer Ausbau der Integralrechnung. In: Vorlesungen Über Differential- und Integralrechnung. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-99554-5_5
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